结构力学基础概念：结构的模态分析：结构的固有频率与振型.pdf

结构力学基础概念：结构的模态分析：结构的固有频率与

振型

1结构力学基础概念：结构的模态分析

1.1绪论

1.1.1模态分析的重要性

模态分析在结构工程中扮演着至关重要的角色，它帮助工程师理解结构在

动态载荷作用下的行为。通过模态分析，可以确定结构的固有频率、振型和阻

尼比，这些信息对于设计抗震、抗风和抗其他动态载荷的结构至关重要。此外，

模态分析还用于优化结构设计，减少振动和噪声，提高结构的稳定性和安全性。

1.1.2固有频率与振型的基本定义

固有频率：固有频率是结构在没有外部激励时，自由振动的频率。

它取决于结构的刚度和质量分布，是结构的固有属性。固有频率的单位

通常是赫兹（Hz）或弧度/秒（rad/s）。

振型：振型描述了结构在特定固有频率下振动的形状。每个振型

对应一个固有频率，振型可以是结构的局部振动，也可以是整体振动。

振型的形状和固有频率一起，提供了结构动态行为的全面理解。

1.2模态分析的数学基础

模态分析基于结构动力学的原理，可以通过求解结构的运动方程来实现。

对于线性系统，结构的运动方程可以表示为：

++=

其中：-是质量矩阵，-是阻尼矩阵，-是刚度矩阵，-是位移向量，

-是随时间变化的外力向量。

在没有外力作用的情况下，即=0，结构的自由振动方程简化为：

++=0

1.2.1求解固有频率和振型

对于无阻尼系统，即=0，可以进一步简化为：

+=0

通过求解该方程的特征值问题，可以得到结构的固有频率和振型。特征值

问题可以表示为：

2

=

1

其中：-是振型向量，-固有频率。

1.2.2代码示例：使用Python求解固有频率和振型

假设我们有一个简单的二自由度系统，其刚度矩阵和质量矩阵分别为：

200−100

=

−100200

10

=

01

下面的Python代码展示了如何使用numpy和scipy库来求解这个系统的固

有频率和振型：

importnumpyasnp

fromscipy.linalgimporteig

#定义刚度矩阵K和质量矩阵M

K=np.array([[200,-100],[-100,200]])

M=np.array([[1,0],[0,1]])

#求解特征值问题

eigenvalues,eigenvectors=eig(K,M)

#计算固有频率

omega=np.sqrt(eigenvalues)

frequencies=omega/(2*np.pi)

#输出固有频率和振型

fori,(freq,vec)inenumerate(zip(frequencies,eigenvectors.T),start=1):