结构力学基础概念：超静定结构：超静定结构的数值模拟方法.pdf

结构力学基础概念：超静定结构：超静定结构的数值模拟

方法

1结构力学与超静定结构简介

结构力学是研究结构在各种外力作用下变形和内力分布的学科，它为结构

设计提供了理论基础。在结构力学中，根据结构的约束条件和外力作用，结构

可以分为静定结构和超静定结构两大类。

1.1静定结构与超静定结构

静定结构：这类结构的未知力可以通过平衡方程完全确定，不需

要考虑变形条件。静定结构的约束数量等于自由度数量，因此，当外力

作用时，结构的内力和变形可以唯一确定。

超静定结构：超静定结构的约束数量超过自由度数量，导致未知

力的数量多于平衡方程的数量。这意味着仅通过平衡方程无法唯一确定

结构的内力和变形，需要引入变形条件（即位移连续条件）来求解。

1.2超静定结构的特性

超静定结构具有以下特性：-冗余约束：存在多余约束，使得结构在局部

破坏时仍能保持整体稳定性。-内力重分布：当结构的一部分受到破坏或变形

时，内力可以重新分布，以适应新的平衡状态。-刚度和稳定性：超静定结构

通常具有更高的刚度和稳定性，因为它们能够通过内力的重分布来抵抗外力。

2数值模拟在结构分析中的应用

数值模拟是现代结构分析中不可或缺的工具，它通过计算机算法来求解结

构力学问题，特别适用于超静定结构的分析。数值模拟方法包括有限元法、边

界元法、离散元法等。

2.1有限元法（FiniteElementMethod,FEM）

有限元法是最常用的数值模拟方法之一，它将结构分解为多个小的、简单

的单元，然后在每个单元上应用力学原理，通过求解单元间的平衡方程来获得

整个结构的响应。

2.1.1有限元法的基本步骤

1.结构离散化：将结构划分为有限数量的单元。

2.单元分析：在每个单元上建立力学模型，求解单元的内力和变形。

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3.整体分析：将所有单元的响应组合起来，求解整个结构的内力和

变形。

4.后处理：分析和可视化求解结果。

2.1.2代码示例

以下是一个使用Python和scipy库进行简单梁的有限元分析的示例：

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义结构参数

n_nodes=5#节点数量

n_elements=4#单元数量

E=200e9#弹性模量

A=0.01#截面面积

L=1.0#单元长度

#创建刚度矩阵

K=lil_matrix((n_nodes,n_nodes))

foriinrange(n_elements):

k_element=np.array([[1,-1],[-1,1]])*(E*A/L)

K[i:i+2,i:i+2]+=k_element

#定义边界条件和外力

boundary_conditions=np.array([1,0,0,0,1])#固定两端

F=np.zeros(n_nodes)

F[2]=-1000#在第三个节点施加向下力

#应用边界条件

K=K.tocsr()

K=K[boundary_conditions==0,:][:,boundary_conditions==0]

F=F[boundary_conditions==0]

#求解位移

U=spsolve(K,F)

#输出位移

print(节点位移:,U)

2.1.3解释

在这个示例中，我们创建了一个简单的梁结构，由5个节点和4个单元组

成。我们使用了scipy库中的lil_matrix来构建刚度矩阵，spsolve来求解位移。

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边界条件和外力被定义，然后应用到刚度矩阵和外力向量上，以求解结构的位

移。

2.2结论

数值模拟方法，尤其是有限元法，为超静定结构的分析提供了强大的工具。

通过将复杂结构分解为简单的单元，可以精确地计算结构的内力和变形，这