量子力学第七章.ppt

第七章量子力学的矩阵形式与表象变换§7.1坐标表象与动量表象§7.2本征值为分立的力学量表象§7.3表象变换§7.4狄拉克符号§7.1坐标表象与动量表象§7.2本征值分立的力学量表象§7.3表象变换§7.4狄克拉符号例3.Q表象，基求定态解。解：解久期方程得分析：其中讨论：但却有一个共同的本征函数。若，则和有共同本征矢系。ii.若，则和没有共同本征矢系。Q表象中由于状态可看成Hilbert空间的矢量，因此选定一套基矢，就相当于确定了表示态矢量的“坐标系”——表象。不同“坐标系”间的变换就是表象变换。一、平面直角坐标系的变换将新基在老基下的列矩阵排列起来就是S矩阵可证，二、表象变换1.态矢量列矩阵的变换A表象(老表象)B表象(新表象)其中2.变换矩阵是幺正矩阵，即证明：同理可证即或新基于是3.S矩阵的计算ii.在老表象中写出所有新基的列矩阵，并按列排列i.老基证明：证明：4.力学量方矩阵的变换5.表象变换不改变的本征值设在老表象中，新表象中例：求l=1的表象到表象变换的S矩阵，并将表象中的的本征态矢及矩阵变换到表象。解：在表象中的本征矢表象表象的本征值和本征矢表象表象的本征值和本征矢表象表象的本征值和本征矢表象表象的矩阵的矩阵的矩阵自身表象对角矩阵例：若粒子处于具有确定值，取，0和几率均为的态，求的可能取值及其几率。解：在表象中态矢列矩阵在表象中态矢列矩阵：解法二：的可能取值是：对应的几率：直接在表象内按的本征矢展开练习：试由上题的条件，求解：在表象中态矢状态是Hilbert空间的矢量，因此处理与状态有关的问题就必须在一定的表象里进行。不是。可以根据方便选择一定的表象，也可以不采用任何表象进行抽象的分析。不使用任何表象就好像不选取任何坐标系？这怎么可能？这怎么不可能？狄拉克符号就是不需表象的量子力学理论表述方法。量子力学：也有不依赖于表象的描述方法，这就是狄拉克符号。利用狄拉克符号可使理论表述和计算大为简化。一、右矢(ket)和左矢(bra)经典力学：牛顿第二定律在不同坐标系中有不同的形式，但也有不依赖坐标的形式矢量分析中：等是不依赖于坐标系的1.右矢表示Hilbert空间的一个矢量，即表示量子态，记为。相当于2.若标志某指定的态，则在括号内标上某种记号。如：i.表示用波函数描述的状态；ii.表示x坐标的本征态(本征值)；iii.表示动量的本征态(本征值)；iv.或表示能量的本征态(本征值)；v.表示的共同本征态(本征值分别为和)；4.力学量算符作用在右矢得到另一个右矢3.7.用右矢或左矢标记的只是一个抽象的态矢量，不涉及具体的表象。5.左矢表示共轭空间的一个抽象矢量，如是的共轭矢量，是的共轭矢量6.须注意，左矢只能和左矢相加，右矢只能和右矢相加，或没有意义。如只有在具体的表象中，算符才有具体的运算形式这里共轭是说左矢与右矢互为相伴，在不同具体表象中表现出不同的数学上的关系。二、内积3.正交归一性1.定义2.，与正交；，归一化；三、态在具体表象中的表示1.Q表象中右矢用列矩阵表示以为基矢——Q表象3.基矢完备性公式2.x表象中右矢用波函数表示以为基矢——x表象i.投影算符ii.基矢完备性公式的完备性——投影算符的完备性同理的完备性**表象是什么？表象(Represent