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导数的计算练习题及答案

1.计算函数f(x)=3x^2-4x+2的导数f(x)。

解答：

根据函数f(x)=3x^2-4x+2，使用导数的定义来计算导数f(x)。

f(x)=lim(deltax-0)(f(x+deltax)-f(x))/deltax

代入函数f(x)的表达式：

f(x)=lim(deltax-0)[(3(x+deltax)^2-4(x+deltax)+2)-

(3x^2-4x+2)]/deltax

化简并展开：

f(x)=lim(deltax-0)[3(x^2+2x*deltax+(deltax)^2)-4x-4

*deltax+2-3x^2+4x-2]/deltax

f(x)=lim(deltax-0)[3x^2+6x*deltax+3(deltax)^2-4x-4

*deltax+2-3x^2+4x-2]/deltax

f(x)=lim(deltax-0)[6x*deltax+3(deltax)^2-4*deltax]/

deltax

f(x)=lim(deltax-0)[6x+3*deltax-4]

由于求导数时deltax趋近于0，所以deltax也可以看作一个无

穷小量，其平方项可以忽略不计，即deltax^2=0。

化简结果：

f(x)=6x-4

所以函数f(x)=3x^2-4x+2的导数f(x)为6x-4。

2.计算函数g(x)=2sin(x)+3cos(x)的导数g(x)。

解答：

根据函数g(x)=2sin(x)+3cos(x)，使用导数的定义来计算导数

g(x)。

g(x)=lim(deltax-0)(g(x+deltax)-g(x))/deltax

代入函数g(x)的表达式：

g(x)=lim(deltax-0)[(2sin(x+deltax)+3cos(x+deltax))-

(2sin(x)+3cos(x))]/deltax

化简并展开：

g(x)=lim(deltax-0)[2sin(x)cos(deltax)+2sin(deltax)cos(x)+

3cos(x)cos(deltax)-3sin(x)sin(deltax)-2sin(x)-3cos(x)]/deltax

利用三角恒等式sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)和cos(a+

b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)，化简结果：

g(x)=lim(deltax-0)[2sin(x)cos(deltax)+2sin(deltax)cos(x)+

3cos(x)cos(deltax)-3sin(x)sin(deltax)-2sin(x)-3cos(x)]/deltax

g(x)=lim(deltax-0)[2(sin(x)cos(deltax)+cos(x)sin(deltax))+

3(cos(x)cos(deltax)-sin(x)sin(deltax))-2sin(x)-3cos(x)]/deltax

g(x)=lim(deltax-0)[2sin(x+deltax)+3cos(x+deltax)-

2sin(x)-3cos(x)]/deltax

根据三角函数的性质，当deltax趋近于0时，sin(x+deltax)和

cos(x+deltax)可以分别用sin(x)和cos(x)来近似，即sin(x+deltax)

≈sin(x)，cos(x+deltax)≈cos(x)