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2024-2025学年度第一学期高二开学考试
数学学科
满分150分时间:120分值
一、单选题(每题5分,共40分)
1.在复平面内,设i是虚数单位,则复数的共轭复数对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设是两个平面,是两条直线,则下列命题为真命题的是()
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若,,,,则
D若,,则
3.从3男2女5名志愿者中,抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作,则至少有1名女性志愿者参加的概率为()
A B. C. D.
4.如图,在直角梯形中,,若分别是边,上的动点,满足,其中,若,则的值为()
A1 B.3 C. D.
5.任意抛掷一次骰子,朝上面的点数记为,则,定义事件:,,,则()
A. B.
C. D.、相互独立
6.已知是边长为6的等边三角形,点分别是上的点,满足,连接交于点,求()
A. B. C. D.
7.下列选项中,,,,分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的是()
A. B.
C. D.
8.如图,某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方,为了缓解城市交通压力,现准备修建一条绕城高速公路,并在上分别设置两个出口,若部分为直线段,且要求市中心与AB的距离为20千米,则AB的最短距离为()
A.千米 B.千米
C.千米 D.千米
二、多选题(每题6分)
9.已知向量,,是与同向的单位向量,则下列结论正确的是()
A. B.若,则
C.与的夹角余弦值为 D.向量在向量上的投影向量为
10.在平面直角坐标系中,点间的折线距离,已知,记,则()
A.若,则有最小值8
B.若,则A点轨迹是一个正方形
C.若,则有最大值15
D.若,则点A的轨迹所构成区域的面积为
11.《九章算术》里说:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑”.如图,底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”,沿截面将一个“堑堵”截成两部分,其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑中,,其外接球的体积为,当此鳖臑的体积V最大时,下列结论正确的是()
A.
B.
C.直线与平面所成角的正弦值
D.内切球的半径为
三、填空题(每题5分)
12.已知,则直线:和直线:的位置关系为______.
13.如图,四边形,都是边长为1正方形,,则,两点间的距离是______.
14.在直三棱柱中,,底面是边长为6的正三角形,则三棱柱外接球的表面积为______;若是三棱柱外接球的球面上一点,是内切圆上一点,则的最大值为______.
四、解答题
15.已知空间中三点,,,设,.
(1)已知,求的值;
(2)若,且∥,求的坐标.
16.设直线l的方程为
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求直线的方程.
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
(3)若直线l交x轴正半轴于点A,交y轴负半轴于点B,的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程.
17.2021年5月,第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办,主办方要对布展区域精心规划.如图,凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图,为了展示不同品种的花卉,将BD连接,经测量已知
(1)若,求此花卉布展区域总面积;
(2)求证:为一个定值;
(3)在锐角中,内角A,B,C对的边分别为a,b,c.若,求的取值范围
18.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度,针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有20人,按年龄分成5组,其中第一组:,第二组:,第三组:,第四组:,第五组:,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计这20人的平均年龄和第80百分位数;
(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1,求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.
19.如图,在四棱锥中,已知底面矩形,,平面平面.
(1)求证:平面;
(2)若,点在棱上,且二面角的大小为.
①求证:;
②设是直线上的点,求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
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