第09讲圆心角与圆周角(4种题型)(原卷版+解析).docxVIP

第09讲圆心角与圆周角（4种题型）

【知识梳理】

一．圆心角、弧、弦的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．

二．圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

三．圆内接四边形的性质

（1）圆内接四边形的性质：

①圆内接四边形的对角互补．

②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．

（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．

四．相交弦定理

（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．

几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA?PB＝PC?PD（相交弦定理）

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．

几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA?PB（相交弦定理推论）．

【考点剖析】

一．圆心角、弧、弦的关系（共9小题）

1．（2023?杭州二模）如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（）

A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O

C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°

2．（2022秋?鄞州区校级期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是．

3．（2022秋?越城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为（）

A．4π B．6π C．8π D．9π

4．（2023?越城区模拟）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝140°，则∠BOC的度数为（）

A．70° B．80° C．90° D．100°

5．（2023?路桥区校级二模）如图，弧AB所对圆心角∠AOB＝90°，半径为8，点C是OB中点，点D弧AB上一点，CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，则AE的最小值是．

6．（2023?宁波模拟）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中AD长度为米，BC长度为米，圆心角∠AOD＝60°，则裙长AB为．

7．（2023?萧山区校级模拟）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝AD，AC交BD于点E，已知∠COD＝135°．

（1）求∠AEB的度数，

（2）若CO＝1，求OE的长．

8．（2023?玉环市二模）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥OC．

（1）求证：点C平分弧BD．

（2）利用无刻度的直尺和圆规作出AB的中点P（保留作图痕迹）．

9．（2023?婺城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．

（1）求证：CF＝BF；

（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．

二．圆周角定理（共11小题）

10．（2023?鹿城区一模）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的两点，连结AB，BC，CD，BD，若∠A+∠