福建省平潭第一中学2024-2025学年高二上学期开门考试 数学试卷（含解析）.docx

平潭一中2024--2025学年上学期开门考

高二数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A． B．

C． D．

2．已知，向量，，则“”是“”的（????）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设，向量，，，且，，则等于（????）

A． B． C．3 D．4

4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

5．在空间直角坐标系中，已知点，则一定是（????）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形

6．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列说法错误的是（）

A． B．平面

C． D．平面

7．，则的大小关系是

A． B． C． D．

8．设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（????）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（???）

A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则

B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则

C．直线的方向向量，平面的法向量是，则

D．直线的方向向量，平面的法向量是，则

10．关于函数，下列说法正确的是（????）

A．的最小正周期为 B．的最大值为

C．的单调递减区间为 D．的一个对称中心为

11．已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中下列结论成立的是（???）

A．三棱锥的体积最大值为

B．三棱锥的外接球体积不变

C．异面直线与所成角的最大值为

D．与平面所成角的余弦值最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知，则

13．如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的表面积为．

14．在ΔABC中，，已知BC边上的中线，则ΔABC面积的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．已知空间三点

(1)求以向量为一组邻边的平行四边形的面积；

(2)若向量分别与向量垂直，且，求向量的坐标．

16．四棱锥中，底面为正方形，平面，，E，F分别为PC，AD的中点.

??

(1)求证：平面PFB；

(2)求点E到平面PFB的距离.

17．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，

(1)求B；

(2)若的面积为，求c．

18．如图，四棱锥中，底面ABCD，，．

(1)若，证明：平面；

(2)若，且二面角的正弦值为，求．

19．如图多面体ABCDEF中，面面，为等边三角形，四边形ABCD为正方形，，且，H，G分别为CE，CD的中点．

(1)证明：；

(2)求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值；

(3)作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．

1．ABD

【分析】根据已知条件，结合共面向量的充要条件即可求解．

【详解】由共面向量的充要条件可得：

对于A选项，，所以三个向量共面；

对于B选项，，所以三个向量共面；

对于C选项，假设三个向量共面，

则存在，使得，

则，即三个向量共面，

这与已知构成空间的一个基底矛盾，故假设错误，

即三个向量不共面，故C不正确；

对于D选项，＝，所以三个向量共面；

故选：ABD．

2．B

【分析】首先利用向量平行的坐标表示求，再根据充分，必要条件的定义判断.

【详解】若向量，则，即

解得：或,

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：B

3．C

【分析】由向量的位置关系列式求出，根据模的计算公式计算即可求解.

【详解】，

，

，，

，

，

，．

，

．

故选：C.

4．B

【分析】运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断.

【详解】对于A，如图，，此时，故A错误；

对于B，若，面内可以找一条直线，使得；

而，与内任意一条直线都垂直，则，则.故B正确；

对于C，如图，，此时，故C错误；

对于D，如图，，此时，故D错误．

故选：B.

5．C

【分析】根据给定条件，利用空间两点间距离公式求出三角形边长作答.

【详解】点，则，

，，

而，所以一定为直角三角形.

故选：C

6．C

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

【详解】∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，

∴以D为原点，DA为x轴，DC为y