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丰城九中2024-2025学年上学期高二日新开学考试数学试卷
考试时间:120分钟试卷总分:150分
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,则(????)
A. B.
C. D.
2.已知向量,则与夹角的余弦值为(???)
A. B. C. D.
3.已知函数,则(????)
A.0 B.1 C. D.
4.若实数,,满足,,,则(????)
A. B. C. D.
5.如图,在复平面内,复数,对应的点分别为,,则复数的虚部为(????)
??
A. B. C. D.
6.,的导函数为,则(????)
A. B.
C. D.
7.在中,角的对边分别是,,,则“”是“是锐角三角形”的(???)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.在棱长为3的正方体中,点Р是侧面上的点,且点Р到棱与到棱AD的距离均为1,用过点Р且与垂直的平面去截该正方体,则截面在正方体底面ABCD的投影多边形的面积是(????)
A. B.5 C. D.8
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分,有选错的得0分)
9.已知函数,且满足,则(????)
A.函数在处有极大值
B.函数在区间上是增函数
C.函数在有极大值
D.函数在区间和上是增函数
10.若正实数满足,则(????)
A.
B.有序数对有6个
C.的最小值是
D.
11.已知函数的定义域为R,,,则(????)
A. B.
C.为奇函数 D.
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分,请把正确答案填在题中横线上)
12.的展开式中的系数为(用数字作答).
13.函数的值域为.
14.已知椭圆的左,右焦点分别为,过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点,分别交轴于两点,的周长为6,过作外角平分线的垂线与直线交于点,则.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算)
15.在中,内角的对边分别为,且.
(1)证明:.
(2)若,,求的面积.
16.已知函数fx
(1)当时,求曲线y=fx在点1,f1
(2)若函数gx=fx
17.如图,已知点列在曲线上,点列在x轴上,,,为等腰直角三角形.
(1)求,,;(直接写出结果)
(2)求数列an
(3)设,证明:.
18.在如图所示的试验装置中,两个正方形框架的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子分别在正方形对角线和上移动,且和的长度保持相等,记.
(1)求长的最小值;
(2)当的长最小时,求二面角的正弦值.
19.已知等比数列的公比为q(),其所有项构成集合A,等差数列的公差为d(),其所有项构成集合B.令,集合C中的所有元素按从小到大排列构成首项为1的数列.
(1)若集合,写出一组符合题意的数列和;
(2)若,数列为无穷数列,,且数列的前5项成公比为p的等比数列.当时,求p的值;
(3)若数列是首项为1的无穷数列,求证:“存在无穷数列,使”的充要条件是“d是正有理数”.
1.D
【分析】根据集合的交集以及并集运算,可判断A,C;根据集合的元素可判断A,B之间的关系,判断B;求得,确定集合的元素,可判断D.
【详解】因为集合,
故,A错误;
由于,但,故A不是B的子集,B错误,
,C错误;
,D正确,
故选:D
2.D
【分析】由向量夹角的坐标表示计算.
【详解】因为,则,
所以.
故选:D.
3.A
【分析】直接求导代入即可得解.
【详解】由题,,故.
故选:A.
4.A
【分析】首先判断,,且,根据对数函数的性质可得,即可判断.
【详解】因为,
又,则,且,即,
因为,所以,
所以.
故选:A
5.D
【分析】由复数对应的点求出复数,,计算,得复数的虚部.
【详解】在复平面内,复数,对应的点分别为,,
则,,得,
所以复数的虚部为.
故选:D
6.D
【分析】对两边求导可得,C错误,D正确,举出反例得到AB错误.
【详解】CD选项,两边求导得,
故,,C错误,D正确,
AB选项,可令,满足,
,即,可以得到,,AB错误.
故选:D
7.B
【分析】利用正弦定理和余弦定理可得,但不一定为锐角;若是锐角三角形可知满足,即可得出结论.
【详解】由是锐角三角形,得,从而,
故,即,即,
可得,即必要性成立;
反之,若“”可得,即,
可得,可知,但角可能为钝角,所以充分性不成立;
故选:B
8.C
【分析】根据题意画出与垂直的平面GJKLNM,作出其投影平面AOQCKJ,已知正方体棱长为3,点Р到棱与到棱AD的距离均为1,所以点G,J,K,
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