结构力学基础概念：能量法：能量法求解静定结构.pdf

结构力学基础概念：能量法：能量法求解静定结构

1能量法简介

1.1能量法的基本原理

能量法是结构力学中一种基于能量守恒原理的分析方法。在静定结构分析

中，能量法利用结构的总势能最小化原理来求解未知量。总势能由结构的应变

能和外力势能组成，当结构处于平衡状态时，总势能达到极小值。这一原理可

以用于求解结构的位移、内力等，尤其在处理复杂边界条件或非线性问题时，

能量法提供了一种有效的替代方案。

1.1.1应变能

应变能（）是由于结构内部变形而储存的能量，可以表示为：

1

=∫

2

其中，是应力，是应变，是体积微元。

1.1.2外力势能

外力势能（）是由于外力作用于结构而产生的能量，可以表示为：

=∫⋅

其中，是作用在结构上的外力，是结构的位移，是表面微元。

1.1.3总势能

总势能（）是应变能和外力势能的差值：

=−

在平衡状态下，总势能达到极小值。

1.2能量法与静力学、动力学的关系

能量法与静力学和动力学紧密相关，但其分析角度有所不同。静力学主要

关注力的平衡条件，而能量法则从能量的角度出发，利用能量守恒原理来分析

结构。动力学考虑结构在时间变化下的响应，能量法在处理动力学问题时，可

以利用动能和势能之间的转换关系，通过能量方程来求解结构的动力响应。

1.2.1静力学中的能量法应用

在静力学中，能量法可以用于求解结构的位移和内力。例如，对于一个受

集中力作用的简支梁，可以利用应变能最小化原理来求解梁的挠度。假设梁的

1

挠度函数为，则梁的应变能可以表示为：

22

1

=2

2

0

其中，是弹性模量，是截面惯性矩，是梁的长度。

外力势能可以表示为：

=+

0

其中，是分布载荷，是集中力。

−

通过最小化总势能=，可以求得梁的挠度函数。

1.2.2动力学中的能量法应用

在动力学中，能量法可以用于求解结构的动力响应。例如，对于一个单自

由度系统，可以利用动能和势能之间的转换关系来求解系统的振动方程。假设

系统的位移为，则系统的动能和势能可以表示为：

1

=2

2