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结构力学基础概念：静定结构：平面桁架的几何组成分析

1结构力学基础概念：静定结构：平面桁架的几何组成分析

1.1绪论

1.1.1结构力学的基本概念

结构力学是研究结构在各种外力作用下变形和破坏规律的学科。它主要关

注结构的强度、刚度和稳定性，通过分析结构的内力和变形，确保结构在设计

和使用过程中的安全性和经济性。结构力学的基本概念包括力、力矩、应力、

应变、平衡条件、变形协调条件等，这些概念是分析和设计结构的基础。

1.1.2静定结构与超静定结构的区别

静定结构是指在给定的荷载和约束条件下，其内力和反力可以通过平衡方

程唯一确定的结构。这类结构的未知数数量等于或少于独立的平衡方程数量，

因此可以直接求解，无需考虑变形协调条件。静定结构的优点是计算简单，但

缺点是局部损坏可能导致整体失效。

超静定结构则是在给定的荷载和约束条件下，其内力和反力不能仅通过平

衡方程唯一确定，需要考虑变形协调条件的结构。这类结构的未知数数量多于

独立的平衡方程数量，因此需要使用变形协调方程来求解。超静定结构的优点

是具有冗余度，局部损坏不会立即导致整体失效，但计算相对复杂。

1.1.3平面桁架的定义与应用

平面桁架是由直杆通过铰接或刚接组成的平面结构，其杆件主要承受轴向

力（拉力或压力），而几乎不承受弯矩。平面桁架的定义包括其几何组成、节点

类型（铰接或刚接）和杆件的受力特性。平面桁架广泛应用于桥梁、屋架、塔

架等结构中，因其结构简单、受力明确、材料利用率高而受到青睐。

1.2平面桁架的几何组成分析

1.2.1几何组成规则

平面桁架的几何组成分析主要依据以下规则：1.二元体规则：如果一个结

构可以通过连续添加二元体（两个杆件和一个节点）从一个几何不变的部分扩

展到整个结构，那么这个结构是几何不变的。2.三元体规则：如果一个结构可

以通过连续添加三元体（三个杆件和三个节点，其中任意两个节点之间没有直

接的杆件连接）从一个几何不变的部分扩展到整个结构，那么这个结构也是几

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何不变的。3.多余约束规则：如果一个结构的约束数量超过了保证其几何不变

所需的最小约束数量，那么这个结构是超静定的。

1.2.2分析步骤

分析平面桁架的几何组成，可以按照以下步骤进行：1.确定基础结构：找

到结构中最小的几何不变部分，通常是一个三角形。2.检查二元体和三元体：

从基础结构开始，检查是否可以通过添加二元体或三元体来扩展结构，同时保

持几何不变性。3.识别多余约束：确定结构中是否存在多余约束，即超过保证

结构几何不变所需的约束数量。

1.2.3示例分析

假设我们有一个平面桁架结构，如下图所示：

A

|

|

|

BCD

|||

|||

|||

EFG

节点A、B、C、D、E、F、G通过直杆连接，形成一个平面桁架。我们来分

析其几何组成：

1.确定基础结构：三角形BFC是结构中最小的几何不变部分。

2.检查二元体和三元体：从三角形BFC开始，我们可以看到通过添

加二元体（BF和FC，节点F）可以扩展到三角形BEC和三角形CFD。然

后，通过添加二元体（BE和EC，节点E）和（CD和DF，节点D），可以

扩展到整个结构。因此，整个结构是几何不变的。

3.识别多余约束：如果每个节点都有两个约束（水平和垂直方向），

那么整个结构的约束数量为12（6个节点，每个节点2个约束）。但是，

保证结构几何不变所需的最小约束数量为9（3个三角形，每个三角形3

个约束）。因此，这个结构有3个多余约束，是超静定结构。

通过以上分析，我们可以确定平面桁架的几何组成特性，这对于结构的设

计和分析至关重要。

2平面桁架的几何组成分析

2.1基本几何组成规则

在平面桁架的几何组成分析中，我们首先需要理解桁架的基本几何组成规

则。这些规则帮助我们判断桁架是否稳定，以及其结构的合理性。平面桁架由

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一系列直杆组成，这些直杆在两端铰接，形成一个平面结构。以下是判断平面

桁架几何稳定性的基本原则：

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