结构力学基础概念：结构的动力分析：结构动力学的数值方法.pdf

结构力学基础概念：结构的动力分析：结构动力学的数值

方法

1结构动力学基础

1.1基本概念

1.1.1结构动力学的定义

结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。它关注结

构的振动特性，包括频率、振幅、相位等，以及这些特性如何影响结构的安全

性和性能。结构动力学不仅适用于建筑结构，也广泛应用于机械、航空、桥梁、

船舶等工程领域。

1.1.2动力学方程的建立

动力学方程是描述结构动力行为的基本数学模型。对于一个线性系统，动

力学方程通常表示为：

++=

其中：-是质量矩阵，反映结构各部分的质量分布。-是阻尼矩阵，表

示能量耗散的效应。-是刚度矩阵，反映结构的弹性性质。-是位移向量，

和分别是速度和加速度向量。-是随时间变化的外力向量。

1.2振动理论

1.2.1自由振动分析

自由振动分析研究的是当结构受到初始扰动后，在没有外力作用下的振动

行为。对于无阻尼系统，自由振动方程简化为：

+=0

该方程的解通常为简谐振动，即：

=os+

其中是振幅，是角频率，是初相位。通过求解特征值问题，可以得

到系统的固有频率和振型。

1.2.1.1示例：求解单自由度系统的固有频率和振型

假设一个单自由度系统，质量=1kg，刚度=100N/m。

1

importnumpyasnp

#定义质量矩阵和刚度矩阵

M=np.array([[1]])

K=np.array([[100]])

#求解特征值和特征向量

eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(np.linalg.inv(M)@K)

#计算固有频率

omega=np.sqrt(eigenvalues)

f=omega/(2*np.pi)

#输出结果

print(固有频率：,f)

print(振型：,eigenvectors)

1.2.2受迫振动分析

受迫振动分析考虑结构在持续外力作用下的响应。外力可以是周期性的，

如风力、波浪力，也可以是非周期性的，如地震力。受迫振动方程为：

++=

1.2.2.1示例：求解单自由度系统在正弦外力作用下的响应

假设一个单自由度系统，质量=1kg，刚度=100N/m，阻尼=10

Ns/m，受到=10sin10的外力作用。

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义参数

m=1

k=100

c=10

F0=10

omega_d=10

#定义时间向量

t=np.linspace(0,10,1000)

#定义外力向量

F=F0*np.sin(omega_d*t)

#定义速度和加速度的初始条件

2

u0=0

v0=0

#使用欧拉法求解微分方程

u=np.zeros_like(t)

v=np.zeros_like(t)

u[0]=u0

v[0]=v0

dt=t[1]-t[0]

foriinrange(1,len(t)):

a=(F[i]-c*v[i-1]-k*u[i-1])/m

v[i]=v[i-1]+a*dt

u[i]=u[i-1]+v[i]*dt

#绘制位移响应图

plt.plot(t,u)

plt.xlabel(时间(s))

plt.yla