4.3 对数运算（精讲）（原卷版）--人教版高中数学精讲精练必修一.pdfVIP

4.3对数运算（精讲）

一.对数的概念

1.对数的概念

x

一般地，如果a＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logN，其中a叫做对数的底

a

数，N叫做真数.

2.常用对数与自然对数

名称定义符号

常用对数以10为底的对数叫做常用对数log10N记为lgN

自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.71828…logN记为lnN

e

二.对数与指数的关系与性质

1．对数与指数的关系

x

(1)若a0，且a≠1，则a＝N⇒logN＝x.

a

logNx

(2)对数恒等式：a＝N；loga＝x(a0，且a≠1，N0)．

aa

2．对数的性质

(1)log1＝0(a0，且a≠1)．

a

(2)loga＝1(a0，且a≠1)．

a

(3)零和负数没有对数．

三.对数运算性质

1.如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：

(1)log(M·N)＝logM＋logN；

aaa

M

(2)log＝logM－logN；

aaa

N

n

(3)logM＝nlogM(n∈R).

aa

n

n

拓展：logM＝logM(n∈R，m≠0).

ama

m

2.换底公式

logb

c

对数换底公式：logb＝(a0，且a≠1，b0，c0，且c≠1).

a

loga

c

特别地：（1）logb·loga＝1(a0，且a≠1，b0，且b≠1).

ab

(2)logb·logc·loga＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)．

abc

一．对数与指数的关系示意图．

二．指数式与对数式互化

1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．

2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

三．利用对数运算性质化简与求值

1.基本原则：

①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化

简的原则进行.

2.两种常用的方法：

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).

考点一