高中数学知识点总结平面向量与几何应用之平面向量的数量积与向量的投影.pdf

高中数学知识点总结平面向量与几何应用之

平面向量的数量积与向量的投影

高中数学知识点总结：平面向量与几何应用之平面向量的数量积与

向量的投影

在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它能够用来描述空间

中的位置和方向。平面向量的数量积与向量的投影是平面向量的重要

运算和应用。本文将详细介绍平面向量的数量积和向量的投影，并探

讨其在几何问题中的应用。

一、平面向量的数量积

平面向量的数量积也叫点积，它是两个向量之间的一种运算。设有

两个平面向量a和b，它们的数量积表示为a·b。

1.数量积的定义

数量积的定义如下：

a·b=|a|*|b|*cosθ

其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的

夹角。

2.数量积的性质

数量积具有以下性质：

（1）a·b=b·a，即数量积满足交换律。

（2）a·a=|a|^2，即一个向量与自身的数量积等于它的模长的平方。

（3）a·b=0，当且仅当a和b垂直。

3.数量积的应用

数量积在几何问题中有广泛的应用，包括求向量夹角、判断向量垂

直和平行关系，以及求向量投影等。

（1）求向量夹角

利用数量积的定义，可以得到以下结论：

cosθ=(a·b)/(|a|*|b|)

通过以上公式，可以求得向量a和向量b的夹角θ的余弦值，然后

进一步求得夹角θ。

（2）判断向量垂直和平行关系

设有两个非零向量a和b，利用数量积可以得到以下结论：

（i）若a·b=0，则向量a和向量b垂直。

（ii）若a·b=|a|*|b|，则向量a和向量b平行。

通过以上结论，可以判断两个向量之间的垂直和平行关系。

（3）求向量投影

向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上的过程。设有非零向

量a和向量b，向量a在向量b上的投影表示为proj_ba，其计算公式

如下：

proj_ba=(a·b)/|b|

通过这个公式，可以求得向量a在向量b上的投影。

二、向量的投影

向量的投影是指将一个向量投影到另一个向量或平面上的过程，它

在几何问题中有着广泛的应用。

1.向量的投影定义

设有非零向量a和向量b，向量a在向量b上的投影表示为proj_ba。

向量的投影满足以下公式：

proj_ba=k*b

其中，k为实数，满足k=(a·b)/(|b|*|b|)=(a·b)/|b|^2

2.向量的投影与垂直性

向量的投影与向量本身垂直，即向量a与向量a减去它在向量b上

的投影的差向量垂直。

证明如下：

proj_ba⊥(a-proj_ba)

a-proj_ba=a-(k*b)=a-[(a·b)/|b|^2]*b

再计算(a-proj_ba)·b，其中·表示数量积。

(a-proj_ba)·b=a·b-[(a·b)/|b|^2]*b·b

因为b·b=|b|^2，所以(a-proj_ba)·b=a·b-(a·b)=0

得出结论，向量a与向量a减去它在向量b上的投影的差向量垂直。

以上就是关于高中数学知识点总结：平面向量与几何应用之平面向

量的数量积与向量的投影的内容。平面向量的数量积可以用来求夹角、

判断垂直和平行关系，以及求向量投影。向量的投影是将一个向量投

影到另一个向量或平面上的过程，与垂直性有着重要的关系。以上这

些内容有助于我们深入理解和应用平面向量的概念，并能够在解决几

何问题时灵活运用。