2024-2025年数学选择性必修第一册同步检测11用空间向量研究夹角问题(带答案).docx

同步检测11用空间向量研究夹角问题

必备知识检测

一、选择题(单选每小题5分，多选每小题6分，共37分)

1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角为()

A．130°B．60°C．40°D．50°

2．已知两条异面直线的方向向量分别是u＝(3，－1，2)，v＝(－1，3，2)，则这两条直线所成的角θ满足()

A．sinθ＝eq\f(1,7)B．cosθ＝eq\f(1,7)

C．sinθ＝－eq\f(1,7)D．cosθ＝－eq\f(1,7)

3．平面α的一个法向量为m＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2，2，1)，则平面α与平面β夹角的正切值为()

A．eq\f(4,9)B．eq\f(9,4)C．eq\f(4\r(65),65)D．eq\f(\r(65),4)

4．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AB＝2AA1＝2BC＝2，E是CD的中点，则异面直线EB1与D1C所成角的余弦值为()

A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(15),15)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,5)

5．已知AE垂直于正方形ABCD所在的平面，若AB＝1，AE＝eq\r(3)，则平面ABE与平面CDE夹角的大小是()

A．30°B．45°C．60°D．90°

6．(多选)已知动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上，设eq\f(D1P,D1B)＝λ，若∠APC为钝角，则实数λ可能的取值是()

A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)

C．eq\f(2,3)D．1

7．(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，则()

A．EF∥平面ABCD

B．AF＝3

C．直线AF与平面ADD1A1所成角的正弦值为eq\f(2,3)

D．直线AF与平面ADD1A1所成角的正弦值为eq\f(\r(5),3)

二、填空题(每小题5分，共10分)

8．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝eq\f(1,2)，则直线l与平面α所成角的大小为________．

9．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，则直线BC1与平面ABC所成角的正弦值为________.

三、解答题(共28分)

10．(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝eq\f(\r(3),2)，AB＝1，BD＝PA＝2.

(1)求异面直线BD与PC所成角的余弦值；

(2)求直线BD与平面PCD所成角的正弦值．

11．(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求证：PB⊥平面EFD；

(2)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．

关键能力检测

12．(5分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面D1AC所成的角为θ，则sinθ的取值范围是()

A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(3),3)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))

C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(\r(3),3)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))

13．(5分)中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种被称为“羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他两个面为三角形的五面体．如图，现有一羡除ABCDEF，平面ABCD⊥平面CDEF，CD＝2AB＝4，EF＝6，四边形ABCD，CDEF均为等腰梯形，∠ADC＝∠DEF＝eq\f(π,3)，M，N，P分别为DE，EF，BC的中点，则二面角P-MN-C的平面角的余弦值为______．

14．(15分)如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABC沿着AC翻折至如图2所示的△AB1C的位置，构成三棱锥B1-ACD.

eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1图2