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三垂直全等问题--第1页
在解决几何问题中，一线三等角，“K形全等”的基本图形常常出现，
我们称之为三垂直模型“”，掌握好该模型及其变形，有助于我们解决复
杂几何数学题。
三垂直模型“”的一般形式：
这是最基础的三垂直模型“”，在同一直线上有三个直角，即
∠D=∠ACB=∠E，且BC=AC，那么可以通过“AAS”或“AAS”判定两个
三角形全等。两个三角形已经满足两个条件，加上∠B+∠BCD=90°，
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∠BCD+∠ACE=90°，所以得到∠B=∠ACE，那么通过“AAS”得到
△BDC≌△CEA。
其它三垂直模型“”：
证明的方法与上面类似，通过直角三角形两个锐角互余，得到两个角相
等，从而证明两个三角形全等。
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例题1：如图，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于
点D，AE=5cm，BD=2cm，求DE的长
分析：看到等腰直角三角形，我们应该可以想到很多结论，比如三线“
合一”，比如在等腰直角三角形的斜边中点处构造直角与两腰相交，会
得到一个新的等腰直角三角形等等。
并且，等腰直角三角形满足一个角为直角，且两条腰相等，因此我们也
常构造三垂直“”模型，过顶点的一条直线绕着顶点旋转，过两个底角顶
点做该直线的垂线，可以构造出三垂直模型“”，有“内K图”，也有外“K
图”。
本题可根据AAS证明△ACE≌△CBD，可得AE=CD=5cm，
CE=BD=2cm，由此即可解决问题。
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本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形
解决问题。
例题2：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，以斜边AB
为边向外作正方形ABDE，连接CE，求CE的长
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分析：延长AC，过E作EF⊥AF，垂足为F，由ABDE为正方形，利
用正方形的性质得到一对角为直角，AE=AB，利用同角的余角相等得
到一对角相等，再由一对直角相等，利用AAS得到三角形AEF与三角
形ABC全等，利用全等三角形的对应边相等得到EF=AC=6，
AF=BC=8，由FA+AC求出FC的长，在直角三角形CEF中，利用勾
股定理即可求出EC的长．
此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，
熟练掌握勾股定理是解本题的关键。
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通过这两题可以发现，如果出现等腰直角三角形或者正方形时，我们可
以试着构造”三垂直模型得到全等三角形，从而进行解题。“
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