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平面向量的坐标证明

一、引言

平面向量是高中数学中的重要概念，它在解决几何问题以及代数运

算中扮演着重要角色。本节课将从坐标的角度，详细介绍平面向量的

坐标证明。

二、知识点讲解

1.平面向量的表示方式

平面向量可以通过表示一个点到另一个点的位移来描述。我们通常

用有向线段来表示平面向量，即由一个起点和一个终点构成，其中顺

序和方向都很重要。

2.平面向量的坐标表示

在直角坐标系中，平面向量可以使用其终点的坐标减去起点的坐标

来表示。如向量AB的坐标表示为的坐标表示为

y_1)$，其中A点的坐标为$(x_1,y_1)$，B点的坐标为$(x_2,y_2)$。

3.坐标运算规律

平面向量的坐标运算包括加法、数乘和减法。具体规律如下：

-向量加法：$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$

-数乘：$k(x,y)=(kx,ky)$，其中$k$为实数

-向量减法：$(x_1,y_1)-(x_2,y_2)=(x_1-x_2,y_1-y_2)$

三、坐标证明实例

下面以两个具体的实例来进行坐标证明。

实例1：

已知向量已知向量，向量，向量

，证明，证明

ghtarrow{BD}$。

证明过程：

设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，B的坐标为$(x_2,y_2)$，C的坐标为

$(x_3,y_3)$，D的坐标为$(x_4,y_4)$。

由已知条件可知：

将向量相加的结果代入等式中：

$(x_2-x_1,y_2-y_1)+(x_4-x_3,y_4-y_3)=(x_3-x_1,y_3-y_1)+(x_4-

x_2,y_4-y_2)$

经过计算化简得：

$(x_2-x_1+x_4-x_3,y_2-y_1+y_4-y_3)=(x_3-x_1+x_4-x_2,y_3-

y_1+y_4-y_2)$

比较等式两边的坐标可得：

$x_2-x_1+x_4-x_3=x_3-x_1+x_4-x_2$

$y_2-y_1+y_4-y_3=y_3-y_1+y_4-y_2$

化简得：

$0=0$

因此，根据坐标证明的结果，因此，根据坐标证明的结果，

ghtarrow{BD}$得到证明。

实例2：

已知向量已知向量，证明，证明

。

证明过程：

设点P的坐标为$(x_1,y_1)$，Q的坐标为$(x_2,y_2)$，M的坐标为

$(x_3,y_3)$，N的坐标为$(x_4,y_4)$。

由已知条件可知：

将向量数乘的结果代入等式中：

经过计算化简得：

$(2x_4-2x_3,2y_4-2y_3)=(x,y)$

比较等式两边的坐标可得：

$2x_4-2x_3=x$

$2y_4-2y_3=y$

化简得：

$x=2x_4-2x_3$

$y=2y_4-2y_3$

由于点M和点N的坐标是常数，因此$x$和$y$也是常数。所以，也是常数。所以，

得到了证明。

四、课堂练习

1.已知向量已知向量，求点A和点B的坐标。

2.已知向量已知向量，求点C和点D的坐标。

3.证明证明

。

五、总结

通过本节课的学习，我们了解了平面向量的坐标表示以及坐标证明

的方法。坐标证明可以通过设定点的坐标，利用已知条件和坐标运算

规律来进行推导，从而得到结论