第12讲角平分线的性质(4种题型)(原卷版+解析).docxVIP

第12讲角平分线的性质（4种题型）

【知识梳理】

一、角的平分线的性质

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

二、角的平分线的逆定理

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

三、角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.

射线OC即为所求.

【考点剖析】

题型一：角平分线性质定理

例1.（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形中，，点E为的中点，且平分．求证：是的平分线．

??

【变式1】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，中，，平分，，，求的面积．

??

【变式2】（2023春·湖南常德·八年级统考期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点到边的距离是（???）

A． B． C． D．

【变式3】（湖南省郴州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，在中，，平分，于点E．如果，那么______．

??

【变式4】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）把两个同样大小的含角的三角尺像如图所示那样放置，其中是AD与BC的交点，若，则点到的距离为______．

??

【变式5】如图，P为三条角平分线的交点，PH、PN、PM分别垂直于BC、AC、AB，垂足分别为H、N、M．已知的周长为，，则的面积为______．

??

【变式6】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，在中，平分，，.

(1)求的度数；

(2)若，垂足为，，，求的面积.

题型二：角平分线性质定理及证明

例2．（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，在的两边上分别取点，连接．若平分，平分．

(1)求证：平分；

(2)若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和．

【变式1】（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E是的中点，，平分．求证：

(1)平分；

(2)．

【变式2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在中，，，于点E，平分，点F在上，．求证：．

【变式3】如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，BD＝CE．

(1)求证：BE＝CD；

(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

题型三：角平分线的判定定理

例3.如图，，是的中点，平分，求证：平分．

??

【变式1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，，点E是的中点，平分．

??

(1)求证：是的平分线；

(2)已知，，求四边形的面积．

【变式2】如图，在和中，，（），，直线，交于点，连接．

??

(1)求证：；

(2)用表示的大小；

(3)求证：平分．

【变式3】如图，已知，，是的角平分线，且交于点P．

??

(1)______．

(2)求证：点P在的平分线上．

(3)求证：．

【变式4】（2023春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）已知O是四边形内一点，且，，．

??

(1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：

①；

②平分；

(2)如图2，若，E是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上．

题型四：尺规作图—作角平分线

例4．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知，利用尺规，在边上求作一点，使得.（保留作图痕迹，不写作法）

??

【变式1】（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，中，，为边上的高．

??

(1)尺规作图，在边上求作点，使得点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写做法）：

(2)连接（为所求作的点）交于点，若，求的度数．

【变式2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践

问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

????

请写出平分的依据：____________；

类比迁移：

（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；

拓展实