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复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件

复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析

函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。如果极限存

在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。

定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；

如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。

解析函数的导（函）数一般记为或。

注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，

并且时，，则称在处可导。

注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点

的连续函数；

反之不一定成立；

注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，

而解析性是一个整体概念；

注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，

因此在此点可导；

反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

解析函数的四则运算：

和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且

有下面的导数的四则运算法则：

。

复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解

析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：

（1）、如果（常数），那么；

（2）、，；

（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平

面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的

求法与是实变量时相同。

2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：

定理2.1设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：

1、实部和虚部在处可微；

2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在

有导数，根据导数的定义，当时其中，。比较上式的实部与虚部，得

因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，

柯西-黎曼方程成立。

（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：

设则由可微性的定义，有：

令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。

定理2.2设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：

1、实部和虚部在内可微；

2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条

件，有下面的注解：

注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的

一组解，它们是在研究流体力学时得到的；

注解2、解析函数的导数形式更简洁：

公式可避免利用定义计算带来的困难。

注解3、利用两个定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微

或在一个区域内解析。

3、例题例1证明在任何点都不可微。

解，四个偏导数在复平面内连续，但任何点都不满足方程，故

在任何点都不可微。

例2试讨论定义于复平面内的函数的可导性。

解：

四个偏导数在复平面内连续，且在复平面内满足方程，故在复

平面内处处可导。

例3设函数在复平面可导，试确定常数之值。

解由方程得（1）（2）由（1）得（3）由（2）得（4）

（5）解（3），（4），（5）得。

第二节初等解析函数1、幂函数利用对数函数，可以定义幂函

数：设是任何复数，则定义的次幂函数为当为正实数，且时，还规

定。

由于因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子个

数。

2、幂函数的基本性质：

1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；

2、当是正整数时，幂函数是一个单值函数；

3、当（当是正整数）时，幂函数是一个值函数；

4、当是有理数时，幂函数是一个值函数；

5、当是无理数或虚数时，幂函数是一个无穷值多值函数。

设在区域内，我们可以把分成无穷个解析分支。对于的一个解析

分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个

单值连续分支在内解析，并且,其中应当理解为对它求导数的那个

分支，应当理解为对数函数相应的分支。

对应于在内任一解析分支：当是整数时，在内是同一解析函数；

当时，在G内有个解析分支；