人教版九年级数学上册专题8垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型（原卷版）.docxVIP

专题08垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型

利用垂径定理求值

例题：（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，是的直径，弦于点，，，则．

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【变式训练】

1．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为．

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2．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为．

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垂径定理的实际应用

例题：（2023上·河南漯河·九年级统考期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为（???）

A．5米 B．6米 C．7米 D．8米

【变式训练】

1．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心（在水面上方）为圆心的圆，且圆被水面截得的弦长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（????）

A．2米 B．3米 C．4米 D．5米

2．（2023下·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是寸．

利用弧、弦、圆心角的关系求解

例题：（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图所示，是⊙O的内接三角形，点B是的中点，则下列结论正确的是（???）

A． B．

C． D．

【变式训练】

1．（2023上·广西河池·九年级统考期末）如图，是的直径，C是的中点，若等于，则的度数为．

2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）如图，点A，B，C都在上，B是的中点，，则等于．

半圆（直径）所对的圆周角是直角

例题：（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，的直径是，，圆的半径是4，则弦的长是（????）．

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A． B． C． D．

【变式训练】

1．（2023上·广西玉林·九年级统考期末）如图，在中，为的直径，已知，，，，则．

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2．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，为的直径，内接于，，交于点E．

(1)求的度数；

(2)若点E为中点，，求的长．

90°的圆周角所对的弦是直径

例题：（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，四边形内接于，，，．则的长为．

【变式训练】

1．（2023上·山东济南·九年级统考期末）如图，正方形中，，点沿线段由向运动（到停止运动），点沿线段由向运动（到停止运动），两点同时出发，速度相同，连接，作于点，则在整个运动过程中点的运动轨迹长为．

2．（2022·安徽安庆·校考一模）如图，在中，，，，是内部的一个动点，连接，且满足，过点作于点，则；当线段最短时，的面积为

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已知圆内接四边形求角度

例题：（2023上·辽宁铁岭·九年级统考期末）如图，四边形内接于，为延长线上的一点，若，则的度数为．

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【变式训练】

1．（2023上·江苏南京·九年级统考期末）如图，内接于，外角的平分线交于点，射线交延长线于点．若，，则的度数为°．

2．（2023上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点，，且．

(1)求证：．

(2)若，点为的中点，求的半径．

一、单选题

1．（2023上·河北张家口·九年级统考期末）中的一段劣弧的度数为，则（????）

A． B． C． D．

2．（2023上·河南许昌·九年级统考期末）如图，在中，弦相交于点P，若，，则的大小是（????）

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A． B． C． D．

3．（2023上·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，的半径为，弦的长为，P是弦上一动点，则线段长的最小值为（???）

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A．10 B． C．5 D．

4．（2023上·江西赣州·九年级统考期末）如图，四边形内接于，若它的一个外角，则的度数为（????）

A． B． C． D．

5．（2023上·河北邢台·九年级校考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所