结构力学基础概念：结构的动力分析：结构动力学的有限元分析.pdf

结构力学基础概念：结构的动力分析：结构动力学的有限

元分析

1结构动力学基础

1.1动力学基本方程

在结构动力学中，动力学基本方程是描述结构在动力载荷作用下运动状态

的数学表达式。最常见的是牛顿第二定律的表达形式，即：

++=

其中：-是质量矩阵，表示结构的质量分布。-是阻尼矩阵，反映结构

的阻尼效应。-是刚度矩阵，描述结构的弹性性质。-、和别是位移的

二阶导数（加速度）、一阶导数（速度）和位移本身。-是随时间变化的外

力向量。

1.1.1示例：单自由度系统的动力学方程

假设一个单自由度系统，质量为，刚度为，阻尼为，受到随时间变化

的外力的作用。其动力学方程可以简化为：

++=

1.2自由振动与强迫振动

1.2.1自由振动

自由振动是指结构在初始条件（初始位移和初始速度）作用下，没有外力

持续作用时的振动。自由振动的频率和振型完全由结构的固有属性决定。

1.2.2强迫振动

强迫振动则是指结构在持续的外力作用下发生的振动。外力的频率可能与

结构的固有频率相同或不同，导致共振或非共振振动。

1.2.3示例：自由振动的计算

对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：

=

假设=10kg，=100N/m，计算自由振动频率：

1

importmath

#定义参数

m=10#质量，单位：kg

k=100#刚度，单位：N/m

#计算自由振动频率

omega=math.sqrt(k/m)

print(f自由振动频率为：{omega}rad/s)

1.3阻尼对振动的影响

阻尼是结构动力学中的一个重要概念，它描述了能量在振动过程中如何被

耗散。阻尼可以分为粘性阻尼、库伦阻尼和瑞利阻尼等类型。阻尼的存在会减

小振动的振幅，影响振动的频率和周期。

1.3.1示例：粘性阻尼对振动的影响

考虑一个具有粘性阻尼的单自由度系统，其动力学方程为：

++=0

当系统受到初始位移和速度的激励后，其振动响应会随时间逐渐衰减。

1.4振动的模态分析

模态分析是一种用于研究结构振动特性的方法，它将复杂的多自由度系统

振动问题分解为一系列独立的单自由度系统振动问题。每个单自由度系统对应

一个模态，具有特定的固有频率和振型。

1.4.1示例：模态分析的计算

对于一个多自由度系统，其动力学方程可以表示为：

++=

模态分析的目标是找到系统的固有频率和振型。这通常通过求解特征

值问题来实现：