4.4 对数函数（精讲）（原卷版）--人教版高中数学精讲精练必修一.pdfVIP

4.4对数函数（精讲）

一．对数函数的概念

1.概念：一般地，函数y＝logx(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).

a

2.概念理解

(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定

义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a0，且a≠1.

(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝logx(a0，且a≠1)中，logx前边的系数必须是1，自变

aa

量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.

二．对数函数y＝logx(a0，且a≠1)的图象和性质

a

a10a1

图象

定义域(0，＋∞)

值域R

性过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0

质函数值当0x1时，y0，当0x1时，y0，

的变化当x1时，y0当x1时，y0

单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数

三．对数函数图像

两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图.

四.反函数

x

一般地，指数函数y＝a(a0，且a≠1)与对数函数y＝logx(a0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域

a

正好互换.

一．对数函数的判断

1.系数：对数符号前面的系数为1

2.底数：对数的底数大于0且不等于1

3.真数：对数的真数仅有自变量x

二．定义域

1.分母不能为0；

2.根指数为偶数时，被开方数非负；

3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

三．比较对数值大小

1.同底数的利用对数函数的单调性.

2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.

3.底数和真数都不同，找中间量.

4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.

四.y＝logf(x)型函数性质

a

1.定义域：由f(x)0解得x的取值范围，即为函数的定义域.

2.值域：在函数y＝logf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logt的单调性确定函数的值域.

aa

3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logt的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)

a

4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.

5.最值：在f(x)0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logt的单调性，最后确定最值.

a

6.logf(x)logg(x)型不等式的解法

aa

(1)讨论a与1的关系，确定单调性；

(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零.

7.两类对数不等式的解法

(1)形如logf(x)logg(x)的不等式.

aa

①当0a1时，可转化为f(x)g(x)0；

②当a1时，可转化为0f(x)g(x).