题型02最值问题之阿氏圆-2023年中考数学重难点专题最后冲刺之最值问题(全国通用)(原卷版+解析).docxVIP

最值问题之阿氏圆

模型精讲

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：

易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.

对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需

【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形

问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：

①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB

②计算出这两条线段的长度比

③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，

④则，当A、P、C三点共线时可得最小值

针对性训练

一、单选题

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（????）

A．7 B．5 C． D．

二、填空题

2．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．

3．如图，在⊙O中，点A、点在⊙O上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为___________．

4．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是_________．

5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．

6．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．

7．如图，在△ABC中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________．

8．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．

9．如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是______．

10．如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为___________．

11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.

三、解答题

12．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD

（1）求证：△BDC≌△AFC

（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值；

（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值．

13．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：

①，②，③，④的最小值．

14．如图，点A、B在⊙O上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在⊙O上．求2PC＋PD的最小值．

15．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；

(3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．

16．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点的横坐标为，当时，求的值；

（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．

17．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

18．问题提出：如图