矩阵理论第一章课后习题答案资料.docxVIP

按通常矩阵的加法及数与矩阵的乘法，下列数域F上方阵集合是否构成F上的线性空间：

全体形如的二阶方阵的集合；

（2）全体阶对称（或反对称、上三角）矩阵的集合；

（3）（为给定的阶方阵）.

解：（1）设

①

②

③存在零向量，使得对每个，

④对每个，存在负向量,使得

再令

⑤

⑥

⑦

⑧

所以全体形如的二阶方阵的集合构成F上的线性空间。

（2）设是一个非空集合，是数域.因为为全体阶对称矩阵，所以令

，

其中，

又在中有向量的加法，使得对任意的向量，有和向量.对每个纯量及向量,有纯量积.

=1\*GB3①

=2\*GB3②

=3\*GB3③存在零向量，使得对每个,

=4\*GB3④对每个,存在负向量,使得

=5\*GB3⑤令

=6\*GB3⑥

=7\*GB3⑦

=8\*GB3⑧

所以，（全体阶对称矩阵的集合）是上的一个线性空间（或向量空间）.

（3）设是一个非空集合，是数域.因为（为给定的阶方阵），所以令

，

其中，

又在中有向量的加法，使得对任意的向量，有和向量.对每个纯量及向量,有纯量积.

=1\*GB3①

=2\*GB3②

=3\*GB3③存在零向量，使得对每个,

=4\*GB3④对每个,存在负向量,使得

=5\*GB3⑤令

=6\*GB3⑥

=7\*GB3⑦

=8\*GB3⑧

所以，（（为给定的阶方阵））是上的一个线性空间（或向量空间）.

2、正实数集R+=aa0,a∈R。对R+，规定加法运算a⊕b=ab,?a,b∈R

（1）证明：易得a⊕b=ab∈

①a⊕b=ab=ba=b⊕a.

②设?c∈R+，则

③对?a∈R+，由a⊕x=ax=a,则x=1.故1是

④对?a∈R+，由a⊕y=ay=1,则y=1a

⑤设x,y∈R,a,b∈R+

xy⊙

⑥证明：1⊙

1⊙a=a

⑦证明：x

x⊙

⑧证明:

x+y⊙

（2）解：由（1）中知，全体正实数R+的零元素为1，再任取r∈

设s=l⊙r=rl,则l=log

3.在维线性空间中，下列维向量的集合，是否构成的子空间；

解：分析：运用定理1.1（见课本P3）

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h4.在维线性空间中，下列子集是否构成的子空间：

（1）；

（2）。

解：（1）任取,,

有,

,

即,

对加法运算不封闭

由此可得子集不能构成的子空间。

（2）任取,,

有,

,

,

,

由此可得,

则对加法及数乘运算封闭，

因此构成的子空间。

7.

试求ε1ε2ε3ε4到η1η2η3η4的过度矩阵。

试求η1η2η3η4到ε1ε2ε3ε4的过度矩阵。

求A=在两组基下的坐标。

解：设（η1η2η3η4）=（ε1ε2ε3ε4）A1

由于：η1==-ε1+0ε2+0ε3+2ε4

η2==0ε1+3ε2-1ε3+4ε4

η3==2ε1+1ε2+0ε3+1ε4

η4==1ε1-3ε2+0ε3+2ε4

A1=

A1即为所求过度矩阵使得

（η1η2η3η4）=（ε1ε2ε3ε4）A1

（2）由（1）知（η1η2η3η4）=（ε1ε2ε3ε4）A1

则有（η1η2η3η4）A1-1=（ε1ε2ε3ε4）

设A2=A1-1

使用构造法（A1|E）(E|A2)

得到A2=A1-1=

使得（η1η2η3η4）A2=（ε1ε2ε3ε4）

（3）A==-ε1+3ε2+0ε3+2ε4

故得到A在ε1ε2ε3ε4下的坐标为

（2）知（η1η2η3η4）A2=（ε1ε2ε3ε4）

有=A2

解得=

故得到A在η1η2η3η4下的坐标为

8.试证：在中，由（1，1，0，0），（1，0，1，1）生成的子空间与由（2，-1，3，3），（0，1，-1-，-1）生成的子空间相同。

证明：由题意可得，

即

。

试求的子空间

的交的一组基。

解：

则有，化简得，

得到

此时便是的一组基。

试求的基和维数。

解：已知，

且

又

下面求，

令