专题2.2 平行线中的几何综合（压轴题专项讲练）（北师大版）（原卷版）.pdf

专题2.2平行线中的几何综合

【典例1】将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC

＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．

（1）若三角板如图1摆放时，∠α=°，∠β=°．

（2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和

∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数；

（3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的

过程中，当△ABC的某条边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值．

【思路点拨】

（1）如图1中，过点E作EJ∥PQ，证明∠=+∠，可得结论；

（2）如图2中，根据（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH．利用角平分线的定义求∠PEH，∠MBH，可得结

论；

（3）分9种情形∶当AC∥DF时，当AC∥DE时，当AC∥EF时，当BC∥DF时，当BC∥ED时，当BC∥EF

时，当AB∥DF时，当AB∥ED时，当AB∥EF时，分别讨论求∠MBA的度数，可得结论．

【解题过程】

（1）解∶如图1中，过点E作EJ∥PQ，

∵∥，PQ∥EJ，

∴EJ∥MN，

∴∠=∠，∠JEA=∠BAC=45°，

∴∠=+∠，

∵∠DEF=60°，

∴=60°−45°=15°，

+∠=180°

∵∠DFE=30°，，

∴=180°−30°=150°，

故答案为∶45，150；

（2）解：如图2中，

利用（1）可证∠EHB=∠PEH+∠MBH．

∵PQ∥MN，

∴∠QEA=∠BAC=45°，

∴∠AEP=180°-45°=135°，

∵∠CBA=45°，

∴∠CBM=180°-45°=135*，

∵HE，HB分别平分∠AEP，∠CBM，

11

∴∠PEH=∠PEA=67.5°，∠MBH=∠FBM=67.5°，

22

∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°；

（3）解：①当AC∥DF时，如图1，

易得此时BC∥ED，

∵AC∥DF，易知E，F，A三点共线，∠DFE=∠FAC=30°，

∴∠FAB=∠BAC-∠FAC=45-30°=15°，∠BAM=∠FAM-∠FAB=45°-15°=30°，即15t=30，解得t=2；

②当AC∥DE时，如图2，

易得此时BC∥DF．过点A作AH∥BC，AH∥BC∥DF，

∴∠EAB=∠EAH+∠BAH=∠EFD+∠ABC=30°+45°=75°，

∴∠MAB=∠MAE+∠EAB=45°+75°=120°．

∴15t=120，

∴t=8，

③当AC∥EF时，情况不存在；④当BC∥DF时，同②；⑤当BC∥ED时，同①；

⑥当BC∥EF时，如图3，

此∠MAB=90°，即15t=90，解得t=6；

⑦当AB∥DF时，如图4，

∵AB∥DF

∴∠BAF=∠DFE=30°，

∴∠MAB=∠MAF+∠BAF=45°+30°=75°，即15t=75，解得t=5；

⑧当AB∥ED时，

∵AB∥ED，

∴∠FAB=180°-∠DEF=180°-60°=120°，

∴∠MAB=∠MAF+∠FAB=120°+45°=165