专题2.2 平行线四大模型与动态角度问题 专题讲练（解析版）.pdf

专题2.2平行线四大模型与动态角度问题专题讲练

平行线基本模型与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一

块内容，该份资料就平行线的四大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型）和动态模型（翻

折、旋转）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

重要模型

模型1：猪蹄模型（M型）

【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；

②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.

图①、图②图③

③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P+∠C=∠P+∠P.

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例1、（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C；

【解析】方法一（破角）:过点P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4.

方法二（添角）:连接AC，

∵AB∥CD∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°，又∠2+∠3+∠APC=180°∴∠APC=∠1+∠4.

1.2022··l//lllABEF

变式（广西七年级专题练习）如图，已知直线，直线AB与，分别交于点，，直线

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llCDPEF(CD).ÐPAC

与，分别交于点，，是直线上的任意一点不与点，重合探究，ÐAPB，ÐPBD

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之间的关系，可以得到的结论是________.

【答案】∠APB＝∠PAC＋∠PBD或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠PBD＝∠PAC＋∠APB．

【分析】分三种情况讨论：点P在CD之间时，点P在CD的延长线上，点P在DC延长线上，分别过P

作PG∥AC，根据平行线的性质进行推导，即可得到∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系．

【详解】如图，当P点在C、D之间运动时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD．

理由如下：过点P作PG∥l，

1

∵l∥l，∴PG∥l∥l，∴∠PAC＝∠APG，∠PBD＝∠BPG，

1221

∴∠APB＝∠APG＋∠BPG＝∠PAC＋∠PBD；

如图，当点P在CD延长线上时，∠PAC＝∠PBD＋∠APB．

理由如下：过点P作PG∥l，

1

∵l∥l，∴PG∥l∥l，∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，

1221

∵∠APG＝∠BPG＋∠APB，∴∠PAC＝∠PBD＋∠APB．

如图，当点P在DC延长线上时，∠PBD＝∠PAC＋∠APB．

理由如下：过点P作PG∥l，

1

∵l∥l，∴PG∥l∥l，∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，

1221

∵∠BPG＝∠APG＋∠APB，∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB．

故答案为∠APB＝∠PAC＋∠PBD或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠PBD＝∠PAC＋∠APB．

【点睛】本题主要考查了平行线的性