广东省广州市广州大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（解析）.docx

2024年9月广附高二开学考试数学问卷

姓名：___________班级：___________考号：___________

一．单选题（8道，共40分）

1.已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解.

【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以.

故选：D.

2.已知是方程的根，则（）

A. B. C.2 D.3

【答案】A

【解析】

【分析】代入方程，根据复数相等即可得出即可得解.

【详解】由题意，得，即，

所以，且，解得，

所以.

故选：A.

3.已知，，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】将已知转化为，，，作出函数，，，图象，数形结合即可得大小关系．

【详解】已知，，，则，，，

作出函数，，，的图象，

由图可知．

故选：A．

4.已知，，且，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案.

【详解】因为，所以，

因为，所以，，所以．

由，得，

即，

所以，所以．

又，所以．

故选：D

5.已知函数（），，则（）.

A.

B.的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称

C.在上单调递减

D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据，即函数关于对称，可得，根据三角函数的性质和图象变换，逐项判断.

【详解】根据题意，，即函数关于对称，

即，又，

所以，，

则，A错误；

图象向左平移个单位长度得，

，

而，所以B错误；

，则，则函数先减后增，C错误；

，D正确.

故选：D

6.在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（）个小时才会“药物失效”．（参考数据：）

A.4 B.5 C.6 D.7

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案.

【详解】物实验中，血液中药物含量为的浓度为，

设至少经过个小时才会“药物失效”，根据题意

，两边取对数得，

可得.

所以至少经过个小时才会“药物失效”.

故选：D.

7.已知圆台的体积为，母线长为3，高为，则圆台的侧面积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解.

【详解】

设上底面半径为，下底面半径为，

如图，根据题意，

在中，，即，

又因为圆台的体积为，所以，

即

由①②方程可得：，

所以圆台的侧面积为.

故选：D.

8.已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：先得到点O是内心的充要条件是：，其中，，，从而得到，求出，利用余弦定理得到，求出，由基本不等式求出最大值，得到答案；

方法二：作出辅助线，得到，得到方程组，得到，作出内切圆，根据，求出，设出内切圆半径，故，由图知，从而求出.

【详解】方法一：点O是内心的充要条件是：，其中，，，

理由如下：若，则，

整理得，

所以，即点在的角平分线上，

同理可证，点在，的角平分线上，即点为的内心.

故，

故．

因为角A为锐角，，

所以．由定理得到，

故．

又因为（当且仅当时取等号），

所以，所以，

故，

方法二：如图，延长，交于点D，

设，即，故，

设，

则，

，

作的内切圆与边切于点E，与切于点F，

设圆O半径为r，

且A为锐角，

，

故，解得或（舍去），

故，

又，解得，负值舍去，

，即，由图知，

.

故选：C．

【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

二．多选题（3道，共18分）

9.已知，且，则下列不等式成立的是（）

A. B. C. D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本不等式可判断ABC；由的范围可判断D.

【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误；

对于B，，所以

，

当且仅当，即等号成立，故B正确；

对于C，，要证即证，

所以，即证，由A可知，故C正确；

对于D，因为，且，所以，