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第12讲二次函数中交点个数问题专题训练
1.对于二次函数y=ax2+bx+c,规定函数y=是它的相关函数.已知点M,N的坐标分别为(﹣,1),(,1),连接MN,若线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点,则n的取值范围为()
A.﹣3<n≤﹣1或1<n≤ B.﹣3<n<﹣1或1≤n≤
C.n≤﹣1或1<n≤ D.﹣3<n<﹣1或n≥1
2.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx﹣4经过点A(﹣4,0),对称轴为直线x=﹣1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当﹣2<x<3时,求y的取值范围;
(3)抛物线与y轴交于点B,直线AB上有一动点P,将点P向下平移1.5个单位长度,得到点Q,若抛物线与线段PQ只有一个公共点,请直接写出点P的横坐标xp的取值范围.
3.定义:函数l与l的图象关于y轴对称,点P(t,0)是x轴上一点,将函数l的图象位于直线x=t左侧的部分,以x轴为对称轴翻折,得到新的函数w的图象,我们称函数w是函数l的对称折函数,函数w的图象记作F1,函数l的图象位于直线x=t上以及右侧的部分记作F2,图象F1和F2合起来记作图象F.
例如:如图,函数l的解析式为y=x+1,当t=1时,它的对称折函数w的解析式为y=x﹣1(x<1).
(1)函数l的解析式为y=2x﹣1,当t=﹣2时,它的对称折函数w的解析式为;
(2)函数l的解析式为y=x2﹣x﹣1,当﹣4≤x≤2且t=0时,求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值;
(3)函数l的解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0).
①若a=1,直线y=t﹣1与图象F有两个公共点,求t的取值范围;
②当﹣5≤x≤3,且t=2时,图象F上有4个点到x轴的距离等于2,直接写出a的取值范围.
4.定义:平面直角坐标系xOy中,点P(a,b),点Q(c,d),若c=ka,d=﹣kb,其中k为常数,且k≠0,则称点Q是点P的“k级变换点”.例如,点(﹣4,6)是点(2,3)的“﹣2级变换点”.
(1)函数y=﹣的图象上是否存在点(1,2)的“k级变换点”?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;
(2)点A(t,t﹣2)与其“k级变换点”B分别在直线l1,l2上,在l1,l2上分别取点(m2,y1),(m2,y2).若k≤﹣2,求证:y1﹣y2≥2;
(3)关于x的二次函数y=nx2﹣4nx﹣5n(x≥0)的图象上恰有两个点,这两个点的“1级变换点”都在直线y=﹣x+5上,求n的取值范围.
5.已知二次函数y=x2+bx+k的图象的对称轴为直线x=2,将二次函数y=x2+bx+k的图象中y轴左侧部分(x<0)沿x轴翻折,将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的图象记为G.
(1)求b的值.
(2)当k=﹣1时:
①直接写出图象G对应的函数解析式;
②过点(0,﹣2)作直线l平行于x轴,求出直线l与图象G的交点的横坐标.
已知两点A(﹣1,﹣1),B(5,﹣1),当线段AB与图象G恰有两个公共点时,直接写出k的取值范围.
6.【定义】在平面直角坐标系中,有一条直线x=m,对于任意一个函数图象,把该图象在直线x=m上的点以及直线x=m右边的部分向上平移n个单位长度(n>0),再把直线x=m左边的部分向下平移n个单位长度,得到一个新的函数图象,则这个新函数叫做原函数关于直线x=m的“n分移函数”,例如:函数y=x关于直线x=0的“1分移函数”为y=.
【概念理解】(1)①已知点P1(3,3)、P2(3,4)、P3(0,﹣4),其中在函数y=x﹣2关于直线x=2的“2分移函数”图象上的点有;
②已知点M(3,4)在函数y=(k≠0)关于直线x=2的“1分移函数”图象上,求k的值;
【拓展探究】(2)若二次函数y=﹣x2+2x+6关于直线x=3的“n分移函数”与x轴有三个公共点,是否存在n,使得这三个公共点的横坐标之和为3+2,若存在请求出n的值,若不存在,请说明理由;
【深度思考】(3)已知A(,0),B(0,2),C(4,0),D(0,﹣2),若函数y=x2﹣bx(b>0)关于直线x=0的“3分移函数”图象与四边形ABCD的边恰好有4个公共点,请直接写出b的取值范围.
7.如图1,已知抛物线y=ax2+bx+6与轴交于点A(2,0)和点B,与y轴交于点C,∠ABC=45°.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图2,点E为第二象限抛物线上一动点,EF⊥x轴与BC交于F,求EF的最大值,并说明此时△BCE的面积是否最大.
(3)已知点D(﹣3,10),E(2,10),连接DE.若抛物线y=ax2+bx+6向上平移k(k>0)个单位长度时,与线段DE只有一个公共点,请求出k的取值范围.
8.
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