福建省三明第一中学2024-2025学年高二上学期8月月考 数学试题.docx

三明一中2024-2025学年上学期高二8月月考

数学试卷

（考试时间：120分钟满分：150分）

第Ⅰ卷（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的．

1．如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（）

A． B． C． D．

2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

3．下列说法不正确的是（）

A．若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量

B．若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量都垂直

C．是任意一个平面的一个法向量

D．一个平面的法向量是不唯一的

4．如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一个基底表示，则（）

A． B．

C． D．

5．空间向量在上的投影向量为（）

A． B． C． D．

6．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点P是正方形的中心，则向量（）

A．8 B．4 C．2 D．1

7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，直线l过原点O且平行于，则A到l的距离为（）

A． B．1 C． D．

8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（）

A．

B．当时，

C．平行六面体的体积

D．若，，则

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．

9．设直线，的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，下列命题正确的是（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则，使得 D．若，则

10．关于空间向量，以下说法正确的是（）

A．若，则向量，的夹角是锐角

B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面

D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面

11．在四面体中，已知，，则（）

A．直线AC与DB所成的角为

B．直线AD与平面ABC所成角的正弦值为

C．平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为

D．若E，F分别是AB，CD上的动点，则EF的最小值为

第Ⅱ卷（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知向量，，且，则__________．

13．已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则__________．

14．正方体的棱长为4，E，F分别为AD，上的点，，P，Q分别为，上的动点．当平面时，三棱锥的外接球表面积为__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

如图，在空间四边形ABCD中，F，M，G分别是BD，BC，CD的中点，化简下列各式：

（1）；

（2）；

（3）．

16．（15分）

已知空间三点，，，设，．

（1）若与互相垂直，求实数k的值；

（2）若，，求．

17．（15分）

如图，在平行六面体中，，．

（1）求体对角线的长度；

（2）求证：四边形为正方形．

18．（17分）

如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，M为棱PC的中点．

（1）证明：平面PAD；

（2）若，．

（ⅰ）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值；

（ⅱ）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是﹖若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．

19．（17分）

在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点．若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．

（1）证明：向量是平面的法向量；

（2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；

（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值．

三明一中2024-2025学年上学期高二8月月考

数学参考答案

一、单选题

ACCBADCD

二、多选题

ACD BC BCD

三、填空题

2

四、解答题

15．（1）解：因为G是CD的中点，所以，

所以，；

（2）解：因为M是BC的中点，所以，

所以，；

（3）解：因为M，G分别BC，CD的中点，所以，，

又F是BD的中点，，

所以，．

16．（1），，故，

，

因为，互相垂直，所以，解得或；

（2）．

设，则且，

解得或，