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结构力学基础概念：能量法：能量法求解超静定结构

1结构力学基础概念：能量法求解超静定结构

1.1绪论

1.1.1能量法的基本概念

在结构力学中，能量法是一种基于能量原理来分析结构的方法。它利用能

量守恒定律，通过计算结构在不同状态下的能量变化，来求解结构的内力和位

移。能量法可以分为两类：最小势能原理和最小余能原理。最小势能原理适用

于求解结构的位移，而最小余能原理则适用于求解结构的内力。

最小势能原理指出，当结构处于平衡状态时，其总势能（外力势能与结构

内部应变能之和）达到最小值。这一原理在求解超静定结构的位移时尤为有用，

因为它可以将复杂的平衡方程转化为一个简单的能量最小化问题。

最小余能原理，也称为卡斯蒂利亚诺定理，指出当结构处于平衡状态时，

其总余能（结构内部应变能与外力虚功之差）达到最小值。这一原理在求解超

静定结构的内力时非常有效。

1.1.2超静定结构的定义与特点

超静定结构是指结构的未知力数目多于独立平衡方程数目的结构。这意味

着仅通过平衡方程无法直接求解所有未知力，需要引入变形协调条件或能量原

理来求解。超静定结构具有以下特点：

1.冗余约束：超静定结构存在冗余约束，即结构的某些部分被过度

约束，这使得结构在承受外力时具有更高的稳定性和刚度。

2.内力分布：超静定结构的内力分布更加均匀，能够更好地抵抗外

力，提高结构的安全性和耐久性。

3.位移计算：超静定结构的位移计算通常比静定结构复杂，需要考

虑结构的变形协调条件。

4.温度变化和支座移动：超静定结构对温度变化和支座移动等非荷

载因素更加敏感，这些因素会导致结构产生内力和变形。

1.2能量法求解超静定结构

1.2.1最小势能原理的应用

考虑一个简单的超静定梁，两端固定，中间受集中力作用。假设梁的长度

为L，截面惯性矩为I，弹性模量为E，集中力为P，作用点到左端的距离为a。

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1.2.1.1位移函数假设

我们假设梁的位移函数为：

u(x)=Ax^2+Bx+C

其中，A、B、C为待定系数。

1.2.1.2边界条件

根据梁的边界条件，我们可以得到：

u(0)=0

u(L)=0

以及在受力点的位移连续条件：

u(a)=u(L-a)

1.2.1.3应变能计算

梁的应变能为：

U=(1/2)∫_0^L[EI(d^2u/dx^2)^2]dx

将位移函数代入上式，可以得到应变能的表达式。

1.2.1.4外力势能计算

外力势能为：

V=-Pu(a)

将位移函数代入上式，可以得到外力势能的表达式。

1.2.1.5最小势能原理

将应变能和外力势能的表达式代入最小势能原理的公式：

δ(U+V)=0

对A、B、C求偏导数，可以得到三个方程，解这三个方程，就可以得到A、

B、C的值，从而得到梁的位移函数。

1.2.2最小余能原理的应用

对于超静定结构的内力求解，我们可以使用最小余能原理。假设我们有一

个超静定桁架，其中一根杆件的轴力未知。

1.2.2.1内力函数假设

我们假设未知杆件的轴力为N。

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1.2.2.2应变能计算

桁架的应变能为：

U=(1/2)∑[N_iΔl_i/A_iE_i]

其中，N_i为杆件的轴力，Δl_i为杆件的伸长量，A_i为杆件的截面积，

E_i为杆件的弹性模量。

1.2.2.3外力虚功计算

外力虚功为：

W=∑[P_iu_i]

其中，P_i为作用在节点上的外力，u_i为节点的虚位移。

1.2.2.4最小余能原理

将应变能和外力虚功的表达式代入最小余能原理的公式：

δ(U-W)=0

对N求偏导数，可以得到一个方程，解这个方程，就可以得到未知杆件的

轴力。

1.3示例：能量法求解超静定梁

假设我们有一个长度为10m的超静定梁，两端固定，中间受集中力

P=100kN作用，作用点到左端的距离为3m。梁的截面惯性矩I=1000cm^4，