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2024~2025学年高二9月质量检测卷
数学
考生注意:
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.
2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷?草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围:人教A版选择性必修第一册第一章.
一?选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量,若,则()
A.1B.0C.-1D.-2
2.已知是坐标原点,空间向量,若线段的中点为,则()
A.B.3C.8D.9
3.若平面的法向量,直线的方向向量,则()
A.B.
C.D.或
4.已知为空间中不共面的四点,且,若四点共面,则函数的最小值是()
A.2B.1C.-1D.-2
5.在平行六面体中,分别是的中点.设,则()
A.B.
C.D.
6.已知向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标是()
A.B.C.D.
7.在长方体中,为的中点,则点到平面的距离为()
A.B.C.D.
8.如图,在四棱锥中,平面平面,底面是矩形,,点是的中点,则线段上的动点到直线的距离的最小值为()
A.B.2C.D.3
二?多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知是空间中三个向量,则下列说法错误的是()
A.对于空间中的任意一个向量,总存在实数,使得
B.若是空间的一个基底,则也是空间的一个基底
C.若,则
D.若所在直线两两共面,则共面
10.已知三棱柱为空间内一点,若,其中,则()
A.若,则点在棱上
B.若,则点在线段上
C.若为棱的中点
D.若,则点在线段上
11.如图,在棱长为2的正方体中,分别是的中点,则下列说法正确的有()
A.四点共面
B.与所成角的大小为
C.在线段上存在点,使得平面
D.在线段上任取一点,三棱锥的体积为定值
三?填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.点关于平面的对称点坐标为__________.
13.如图,已知二面角的大小为且,则__________.
14.已知正方体的棱长为2,点在线段上(不含端点).若是锐角,则线段长度的取值范围为__________.
四?解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知向量.
(1)若,求的值;
(2)若,求的值.
16.(本小题满分15分)
如图,在四面体中,,点,分别在棱上,且.
(1)用表示;
(2)求异面直线所成角的余弦值.
17.(本小题满分15分)
如图,在四棱锥中,,平面平面,分别是的中点.
(1)证明:;
(2)若,直线与平面所成角的正弦值为,求的长度.
18.(本小题满分17分)
如图,在直三棱柱中,分别为的中点.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19.(本小题满分17分)
如图,在三棱台中,是等边三角形,,侧棱平面,点是棱的中点,点是棱上的动点(不含端点).
(1)证明:平面平面;
(2)求平面与平面所成角的余弦值的最小值.
2024~2025学年高二9月质量检测卷·数学
参考答案?提示及评分细则
1.A因为,所以,即,解得.故选A.
2.B由题意得,所以,所以.故选B.
3.D因为,所以或.故选D.
4.D因为四点共面,所以,所以,所以,所以函数的最小值为-2.故选D.
5.A如图所示,,即.故选A.
6.C由题意得,设向量在基底下的坐标是,则,所以解得故选C.
7.D如图,以为坐标原点,以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,所以,则,设是平面的一个法向量,则令,则,又,所以点到平面的距离为.故选D.
8.C取的中点为,连接,因为为的中点,所以,又平面平面,平面平面平面,所以平面,所以,又底面是矩形,所以,以点为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示,由,得,所以,则,设,则,因此点到直线的距离
,当时,取最小值,即线段上的动点到直线的距离的最小值为.故选C.
9.ACD由空间向量基本定理,可知只有当
不共面时,才能作为基底,才能得
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