整式乘法与因式分解——解答压轴题一(原卷版+解析).docxVIP

整式乘法与因式分解（解答压轴题一）

1．阅读下列材料：

利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．

运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．

例如：

根据以上材料，解答下列问题：

(1)用多项式的配方法将化成的形式；

(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程，老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“_____”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：

解：

(3)求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．

2．（1）阅读材料：一个正整数x能写成（a，b均为正整数，且），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解．例如：，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解．

①请直接写出一个30以内且是两位数的雪松数，并写出它们的一个平方差分解；

②试证明10不是雪松数；

（2）若a，b正整数，且，求的值．

3．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．

“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：

(1)分解因式：；

(2)已知，，求的值；

(3)的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由．

4．阅读材料，解答问题：

任意一个正整数都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果，两因数之差最小，我们就称是的最优分解，记．

例如：，

，

是12的最优分解，即．

(1)填空：______；

(2)若是大于1的正整数，求的值；

(3)已知，其中是正整数，求的值．

5．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．

如“”分法：

再如“”分法：

利用上述方法解决下列问题：

(1)分解因式：．

(2)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由．

6．阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值．

例如：求代数式的最小值．

解：我们可以先将代数式配方：

再利用完全平方式的非负性：∵，∴，∴的最小值是4．

(1)求代数式的最小值；

(2)求代数式的最大值；

(3)某居民小区要在一块两面靠墙（墙长无限）的空地上建一个长方形花园，另两边用总长为20m的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

7．我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．

(1)通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______；

(2)“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，其中，借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形的面积，易得：______；______，构建等式整理可得：；

(3)如图③，在中，，，P为边上的任一点，过点P作，，垂足分别为M、N，连接，利用“面积法”求的值．

8．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：如图1，可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．

(1)如图2，将一张长方形纸板按图中裁剪成六块，其中有一块是边长为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，三块是长为a，宽为b的全等小长方形，观察图形，因式分解：______；

(2)如图3，若，，，求阴影部分的面积．

9．先阅读下面的内容，再解决问题：

问题：对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．

像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：

(1)分解因式：；

(2)若．

①当a，b，m满足条件：时，求m的值；

②若的三边长是a，b，c，且c边的长为奇数，求的周长．

10．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观