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第04讲三角形的外角（6种题型）

【知识梳理】

1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是

△ABC的一个外角.

要点诠释：

（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．

（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．

2．性质：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．

要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．

3.三角形的外角和：

三角形的外角和等于360°.

要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．

【考点剖析】

题型一、三角形的外角

例1.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D．

（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B+∠C．

题型二：三角形的外角和

例2：如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？

题型三、三角形的内角、外角综合

例3.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，

∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．

【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．

题型四：应用三角形的外角求角的度数

例4：如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.

例5.如图所示，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．

【变式】（一题多解）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.

题型五：用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和

例6.已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.

【变式】（2022·上海·八年级专题练习）如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°．

(1)求∠1度数；

(2)求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．

题型六：三角形外角的性质和角平分线的综合应用

例7.如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.

(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；

(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；

(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．

【变式】（2022·河南郑州·八年级期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则__________．

【过关检测】

一、单选题

1．（2022秋·云南楚雄·八年级校考阶段练习）如图，是的外角，若，，则（???????）

A．40° B．50° C．55° D．60°

2．（2023春·山东威海·八年级统考期中）如图，的大小关系正确的是（????）

A． B． C． D．

3．（2023·浙江·八年级假期作业）已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图方式放置（），若，则的度数为（????）

A． B． C． D．

4．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在中，平分，点在射线上，于，，，则的度数为（）

A． B． C． D．

5．（2023秋·八年级课时练习）如图，将一副三角板拼成如图所示的图形（，，，），交于点，则的度数是（????）

A． B． C． D．

6．（2023秋·八年级单元测试）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，的大小为（???）

A． B． C． D．

7．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知直线，则(????)

A． B． C． D．

8．（2023秋·八年级单元测试）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中的度数为（）

A． B． C． D．

9．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，把纸片沿折叠，使点A落在图中的处，若，，则的度数为（????）

??

A． B． C． D．

10．（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考阶段练习）如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（???）

??

A． B． C． D．

二、填空题

11．（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，∠1的大小为______．

??????

12．（2021秋·广东河源·八年级校考期中