第06讲多边形内角和(7种题型)(原卷版+解析).docxVIP

第06讲多边形内角和（7种题型）

【知识梳理】

一、多边形内角和

n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．

要点诠释：

(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；

二、多边形的外角和

多边形的外角和为360°．

要点诠释：

(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；

(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；

(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．

三．平面镶嵌（密铺）

（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．

（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．

判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．

（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．

（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等．

（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．

【考点剖析】

题型一：利用内角和求边数

例1.一个多边形的内角和为540°，则它是()

A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形

【变式1】（2021·河北承德市·八年级期末）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）

A．3 B．4 C．5 D．7

【变式2】（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（）

A．4 B．5 C．6 D．7

题型二：求多边形的内角和

例2.一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为()

A．1620°B．1800°

C．1980°D．以上答案都有可能

【变式1】（2021·云南临沧·八年级期末）一个八边形的内角和度数为（）

A．360° B．720° C．900° D．1080°

【变式2】（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．

【变式3】（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．

问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；

小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：

由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，

所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，

即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；

由“”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．

所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．

所以2∠APC=．

所以∠APC=．

请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；

解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系为

解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为

题型三：复杂图形中的角度计算

例3.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝()

A．450°B．540°C．630°D．720°

【变式1】（2021·全国八年级单元测试）如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为________度．

【变式2】（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=_______