空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用.docVIP

一．空间直角坐标系

如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．

二．空间直角坐标系中的坐标

空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标

[例1]在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2,4)．

[例2]长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝a，|BC|＝b，|CC1|＝c，将此长方体放到空间直角坐标系中的不同位置(如图3)，分别写出长方体各顶点的坐标．

变式1：棱长为2的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。

2.底面为边长为4的菱形，高为5的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同位置分别写出几何体各顶点的坐标。

3.在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系，

(1)写出正四棱锥P－ABCD各顶点坐标；

(2)写出棱PB的中点M的坐标．

解：连接AC，BD交于点O，连接PO，∵P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a.∴四边形ABCD为正方形，

且PO⊥平面ABCD.∴OA＝eq\r(2)a.PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(?2a?2－?\r(2)a?2)＝eq\r(2)a.

以O点为坐标原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．

（1）正四棱锥P－ABCD中各顶点坐标分别为A(eq\r(2)a,0,0)，B(0，eq\r(2)a,0)，C(－eq\r(2)a,0,0)，D(0，－eq\r(2)a,0)，P(0,0，eq\r(2)a)．

(2)∵M为棱PB的中点，∴由中点坐标公式，得M(eq\f(0＋0,2)，eq\f(\r(2)a＋0,2)，eq\f(0＋\r(2)a,2))，即M(0，eq\f(\r(2),2)a，eq\f(\r(2),2)a)．

[例3]在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．

(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；

(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．

[解](1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．

(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．

(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．

变式：1.写出点P(6，－2，－7)在xOy面，yOz面，xOz面上的投影的坐标以及点P关于各坐标平面对称的点的坐标．

解：设点P在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为点A′，B′，C′，由PA⊥平面xOy，PB⊥平面yOz，PC⊥平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，－2,0)，点B(0，－2，－7)，点C(6,0，－7)；根据点P关于各坐标平面对称点的特征知，点A′(6，－2,7)，B′(－6，－2，－7)，C′(6,2，－7)．

2.在棱长都为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，建立恰当的直角坐标系，并写出正三棱柱ABC－A1B1C1各顶点的坐标．

[正解]取BC，B1C1的中点分别为O，O1，连线OA，OO1，

根据正三棱柱的几何性质，OA，OB，OO1两两互相垂直，且

|OA|＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，

以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，如图5所示，则正三棱柱ABC—A1B1C1各顶点的坐标分别为A(eq\r(3)，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(eq\r(3)，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2)．

∴coseq\b\lc\(\r