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一元函数的导数及其应用(一)

一元函数的导数的几何意义及应用

一、知识要点：

（一）一元函数的导数的几何意义:

函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．

（二）切线方程的计算：

1.在某点处的切线方程的计算：

函数在点处的切线方程为，抓住关键．

2.过某点的切线方程的计算：

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以，然后解出的值（有几个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

（三）利用导数的几何意义求参数的基本方法：

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．

（四）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：

1.函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．

2.切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．

3.曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：

曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；

曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

（五）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点

1.注意曲线上横坐标的取值范围；

2.谨记切点既在切线上又在曲线上。

二、题型：

（一）求与导数的几何意义相关量

1．已知是可导函数，如图所示，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（??A??）

A．0 B．1 C． D．

【详解】由图可知：过，所以，

又过，所以，即．

而，所以

故选：A．

2．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（????）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【分析】根据函数对称性求出时的解析式，利用导数的几何意义求解.

【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，

当时，，

，

，则，

，即曲线在点处切线的斜率为2.

故选：C.

3．若曲线存在与直线垂直的切线，则k的取值范围是（????）

A．B．

C．D．

【答案】D

【分析】对求导后根据题意可得在上有解.令，求导判断单调性求得值域，从而可得不等式，求解即可.

【详解】对求导得，

当时，曲线不存在与直线垂直的切线，

当时，若曲线存在与直线垂直的切线，

只需在上有解.

令，求导得，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

则，且当时，，

所以，解得，

所以k的取值范围是.

故选：D.

4．已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据与的图象关于直线对称，得到，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，由斜率相等得到，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.

解：因为函数与的图象关于直线对称，

所以与互为反函数，所以，

则．由，得，

设直线与函数的图象的切点坐标为，

与函数的图象的切点坐标为，

则直线的斜率，故，

显然，故，

所以直线的倾斜角为，

故选：B．

（二）切线方程

(Ⅰ)在某点处的切线方程

1．已知函数，则的图象在处的切线方程为（??A??）

A．B．

C．D．

【详解】由题意知，

所以，又，

所以的图象在处的切线方程为，即.

故选：A.

2．设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（???）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.

【详解】，

则，

即该切线方程为，即，

令，则，令，则，

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.

故选：A.

(Ⅱ)过某点的切线方程

1．(多选题)过点作曲线的切线，则切线方程可能是（??BC??）

A．B．

C．D．

【详解】.

当点是切点时，此时切线的斜率为：，

所以切线方程为：；

当点是不切点时，设切点为，即，

此时切线的斜率为：，

所以切线方程为：，把点代入得：

，

，解得：，或舍去，

所以切线方程为：，故选：BC

2.过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为()

A．B．1C.D.

答案:B

解析:设切点为，切线为,

由，得，所以，

所以曲线在点处的切线的方程为，

又过点,所以，解得，

所以切点为，纵坐标为1.

故选：B.

(三)公切线

1．斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（????）

A．0或2 B．或2 C．或0 D．0或1

【答案】A

【分析】设直线的方程为，先根