空间向量与立体几何知识点归纳总结.docVIP

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一对一授课教案

学员姓名：年级：所授科目：

上课时间：年月日时分至时分共小时

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教学主题

空间向量与立体几何

上次作业检查

本次上课表现

本次作业

一．知识要点。

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性

2.空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

;;

运算律：⑴加法交换律：

⑵加法结合律：

⑶数乘分配律：

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则

3.共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。

（3）三点共线：A、B、C三点共线=

=

（4）与共线的单位向量为

4.共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。

（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面=

=

5.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。

6.空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。

注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。空间中任一向量=（x,y,z）

（3）空间向量的直角坐标运算律：

①若，，则，

，，

，

，

。

②若，，则。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

③定比分点公式：若，，，则点P坐标为。推导：设P（x,y,z）则,显然，当P为AB中点时，

④，三角形重心P坐标为

2．基底法（如何找，转化为基底运算）

3．坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）

4．几何法

例4.如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。

说明：由图形知向量的夹角易出错，如易错写成，切记！

例5.长方体中，，为与的交点，为与的交点，又，求长方体的高。

【模拟试题】

1.已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）；

（2）；（3）。

2.已知平行四边形ABCD，从平面外一点引向量。

。

（1）求证：四点共面；

（2）平面平面。

3.如图正方体中，，求与所成角的余弦。

5.已知平行六面体中，

，

，求的长。

[参考答案]

1.解：如图，

（1）；

（2）。

；

（3）。

2.解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，

∵，

∴共面；

（2）解：∵，又∵，

∴。

所以，平面平面。

3.解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，

∴，

。

。

4.分析：⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵设＝（x，y，z），则

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝（1，1，1）或＝（－1，－1，－1）。

5.解：

所以，。