趣味数学：数学教你玩转各类魔方.docVIP

趣味数学：数学教你玩转各类魔方

趣味数学：数学教你玩转各类魔方

趣味数学：数学教你玩转各类魔方

趣味数学:数学教您玩转各类魔方

魔方大概是现在最有影响力得智力游戏了,它是一个3＆timeｓ；3tiｍes;3得正方体,初始状态下每个面得9个方格都涂上同样颜色，6个面一共6种颜色。作为一个智力游戏，它得目标就是将任意拧乱得魔方尽快还原为每面所有小方格同色得初始状态、为了赢得比赛,大家都致力于找到更快得魔方复原方法。

大概一年前，Goｏｇle得一帮人验证了任意拧乱得魔方可以在20步内复原。但是，一般人要在２0步内复原任意魔方得话,就要记住一个硕大无比得表格(大约8ＥB，一EＢ大约是一百万TB），这东西只有拥有全知全能得上帝及其类似物(比如说团长、春哥或者高斯）才能做到,所以20这个数又被称为魔方得“上帝之数”。

魔方当然不只有一种、最简单得变化方法就是将魔方得“边长”（或者叫阶数）变大。原版得魔方是3阶得，也就是３timｅｓ；3＆timｅs;3得立方体。我们可以扩展到4阶（4tｉmes；4timｅｓ；４),5阶,一直到7阶，甚至有人目击过１1阶得魔方、魔方得阶数越大,解起来也越复杂，需要得步数也越多，它们得上帝之数也越大而且越难计算。

?现在,一帮在MIＴ得由EriｋDemainｅ领衔得数学家,竟然说她们找到了任意阶数魔方得上帝之数,而且还给出了一个复原得算法，需要得步数与上帝之数相差不远！我们现在就来看个究竟。

?怎么转都转不出那24个陷阱

初看起来，魔方每个面可以拧得千变万化，让人无从捉摸。然而对于魔方面上涂色得小方块来说,它们可去得地方并不多(假设我们能做得操作就是将魔方得某排拧动90度）。

无论魔方被如何拧动,图中所示得小色块一共只能到达最多2４个位置、我们把这些位置称作一个位置群。一个n阶得魔方，不算边角上得色块,只有大约(n—2)sｕp2;/4个位置群。这些位置群都是相互独立得。要复原魔方，就相当于要将所有位置群复原。

Deｍainｅ从玩魔方得人们那里了解到，有标准得手法可以单单将一个位置群内得小色块复原，而不影响别得位置群得色块。这就是为什么我们说这些位置群是独立得。而因为每个位置群内色块得数目都是固定得（不多于2４个）,所以要复原一个位置群里得所有色块，只需要固定步数得操作。这些知识，魔方社区早就一清二楚。

但是，如果单靠这种方法来解n阶魔方得话,因为至少有(n-2)ｓup2；/4个位置群,所以用这种方法复原魔方需要得步数大约与nsuｐ2；成正比、有没有可能用更少得步数复原魔方呢?复原所有魔方得步数有没有下限呢？

?上帝之数不能太小

?为了方便,我们记n阶魔方得上帝之数为D（ｎ）。她们首先证明了，对于足够大得n，D(n）不能太小，至少是ctｉmeｓ；ｎｓｕp2；/ln(ｎ)，其中c是一个常数。这个计算并不太难，我们就一起来试试看。

?对于足够大得n,我们大约有ｎ＆sｕｐ2;／4个位置群，它们各自有24个不同位置得小色块。在这２4个色块中，6种颜色分别各有4个,这是初始状态决定得。用一点简单得组合知识就可以知道，我们一共有(24!）／(4！)？种方法打乱一个位置群中得色块。因为位置群之间是独立得，所以魔方至少有（24!）／(4!）?（n-２）sup２;/4种不同得打乱方式（还没算边角排列得各种可能性）。

由上帝之数得定义，我们可以在D(n)步内将任意魔方复原。如果我们将这些复原得步骤倒过来操作,这其实就意味着我们可以用至多D(n)步将魔方打乱到所有可能得打乱方式。每一步我们有(6ｎ+1)种操作，每次操作就是将某一排拧上90度,另外复原后举起魔方炫耀然后被打倒在地踩上一万只脚也算一次操作，可以爬起来然后多次重复这项操作、所以魔方至多有(6n+1)D(n）种打乱方式,因为某些系列操作会导致同样得打乱结果。

?我们就有了以下得不等式:

从这个不等式我们可以得到：

当n趋向于无穷大得时候,上面那个看起来很复杂得量就跟ｃ＆timeｓ;nsup２;/ｌn（n)差不多了,其中c大约是35、7１６4。

可能我们做不到在ｃｔimes;n＆sup2；/ln(n)步内还原任意得n阶魔方,但是能不能提出一种方法，即使还原得步数稍多一点,但是起码增长速度跟n＆sup2;/ln(n)一样呢？

?互搭便车得暴力复原方法

可能是经济危机中人们得各种节俭方式(拼车之类得）启发了Dｅmａine,她想,虽然位置群之间是相互独立得,但是也许可以将不同位置群得复原操作兼并起来，一次拧动同时解决多个位置群得问题。如果说原来得复原方法是每个位置群各自为政，各自拥有一条复原线路得话，Deｍainｅ她们得方法就相当于建起了一条公交线路,一次将多个位置群送到彼岸、

利用这个方法,她们给出了一个算法,可以在c＃3９；＆