河北省衡水中学2025届高三上学期第一次综合素养测评数学试题（含答案）.docx

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河北省衡水中学2025届高三上学期第一次综合素养测评数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知不等式x2?2x?30的解集为A，不等式x+3x?20的解集为B，则A∩B

A.?3,3 B.?3,3 C.?1,2 D.?1,2

2.已知a=63,b=1,a?

A.2π3 B.5π6 C.π3

3.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=30°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°，已知山高

A.120m B.150m C.503m

4.已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn、Tn，若Sn

A.11113 B.3713 C.11126

5.已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，P

A.53 B.54 C.2

6.点P(?2,?1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y?2?4λ=0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为(????)

A.13；3x+2y?5=0 B.11；3x+2y?5=0

C.13；2x?3y+1=0 D.

7.已知函数f(x)的定义域为(?3,3)，且f(x)=lg3?x3+x+2x?3,?3x0,lg

A.(?3,2) B.(?3,0)∪(0,1)∪(1,2)

C.(?1,3) D.(?1,0)∪(0,2)∪(2,3)

8.已知xx?1≥lnx+ax对?x0

A.0 B.?1e C.e D.

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若数列an为递增数列，则an的通项公式可以为(????)

A.an=nn+1 B.an=2n?1

10.函数fx=2sinωx+φω0,φπ2的部分图象如图中实线所示，C为函数fx与x轴的交点，圆C与fx的图象交于

A.ω=2

B.圆的半径为273

C.函数fx的图象关于点4π3,0成中心对称

11.已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点，点P

A.若点P是椭圆的短轴顶点，则椭圆C的标准方程为x28+y24=1

B.若P是动点，则b的值恒为2

C.若P是动点，则椭圆的离心率的取值范围是[1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知α是第四象限角，且sin2α=?23，则cosα?sin

13.已知f(x)=x2+cosx，若a=f(e?34)，b=f(ln45

14.定义：对于函数fx和数列xn，若xn+1?xnf′xn+fxn=0，则称数列xn具有“fx函数性质”.已知二次函数fx图象的最低点为0,?4，且fx+1=fx+2x+1，若数列xn

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知数列{an}为递增的等比数列，Sn为数列{a

(1)求数列{a

(2)记bm为数列{an}在区间(2m,2

16.(本小题12分)

已知函数f(x)=log2x

(1)求函数f(x)的最大值；

(2)设不等式f(x)?0的解集为A，若对任意x1∈A，存在x2∈[0,1]，使得x

17.(本小题12分)

如图，抛物线Γ:y2=2px(p0),M(2,1)是抛物线内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1,l2，设l1与抛物线Γ相交于点A,B,l2与抛物线Γ相交于点

(1)求抛物线Γ的方程；

(2)求AC?DB

18.(本小题12分)

已知函数fx

(1)若直线y=e?1x与函数fx

(2)若函数gx=xfx有两个极值点x1和x2，且x

19.(本小题12分)

法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：

①当?ABC的三个内角均小于120°时，满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120

②当?ABC有一个内角大于或等于120

请用以上知识解决下面的问题：

已知?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，点M为?ABC的费马点，且cos2A+

(1)求C；

(2)若c=4，求MA?

(3)若MA+MB=tMC，求实数

参考答案

1.D?

2.B?

3.C?

4.C?

5.A?

6.A?

7.D?

8.D?

9.ABD?

10.AC?

11.ABD?

12.15

13.bca?

14.?511

15.解：(1)设公比为q，由题意得，a1

解得a1=2,q=2或