06 第52讲　双曲线 【答案】听课.docxVIP

第52讲双曲线

●课前基础巩固

【知识聚焦】

1.距离的差的绝对值焦点焦距

(1)2a|F1F2|(2)2a=|F1F2|(3)2a|F1F2|

3.x≥a或x≤-ay≤-a或y≥a(-a,0)(a,0)

(0,-a)(0,a)±bax±abx(1,+∞)a2

2a2b

【对点演练】

1.882y=±2x3[解析]双曲线2x2-y2=32的标准方程为x216-y232=1,故实轴长为8,虚轴长为82,渐近线方程为y=±2x

2.x28-y28=1[解析]设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),把点A(3,-1)的坐标代入,得λ=8,故所求双曲线方程为x2

3.y29-x2=1[解析]因为双曲线的渐近线方程是y=±3x,所以设双曲线的方程为y2-9x2=t(t≠0),将(-3,6)代入,可得t=36-9×3=9,所以双曲线的方程为y29-x

4.(0,2)[解析]根据题意得,要使方程x2t+y2t-2=1表示双曲线,只需t(t-2)0,解得0t

5.17[解析]由题意知|PF1|=9a+c=10,所以点P在双曲线的左支上,则有|PF2|-|PF1|=2a=8,故|PF2|=|PF1|+8=17.

6.双曲线x29-y27=1的右支[解析]设满足题意的点为点P,由题意知|PF1|-|PF2|=6|F1F2|=8,则点P在以F1,F2为焦点,且实轴长为6的双曲线的右支上.设该双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),半焦距为c,则a=3,c=4,故b2=c2-a2

7.两条射线[解析]由题知|F1F2|=8,而||PF1|-|PF2||=8,满足2a=|F1F2|这一条件,故所求点的轨迹是两条射线.

8.2或233[解析]若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为x2a12-y2b12=1(a10,b10),则其渐近线的方程为y=±b1a1x,由题意可得b1a1=tanπ3=3,即b1=3a1,可得c1=2a1,此时离心率为c1a1=2.若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的方程为y2a22-x2b22=1(a20,b20),则其渐近线的方程为y=±a2b2x,由题意可得a2b2

●课堂考点探究

例1[思路点拨](1)根据双曲线方程确定c的值,从而求出|PF2|,再利用双曲线的定义求解即可.(2)思路一:先根据双曲线的定义及|PF1|·|PF2|=12求出|PF1|,|PF2|,进而得到tan∠PF1F2,结合∠POF2=2∠PF1F2即可求解tan∠POF2;思路二:先根据双曲线的定义及|PF1|·|PF2|=12求出|PF1|,|PF2|,进而得到|F1F2|,求出双曲线的方程,结合P(x0,y0)(x00)在双曲线及以F1F2为直径的圆上,得到x0,|y0|,进而求解.

(1)A(2)A[解析](1)由x2-y2=2,得x22-y22=1,故a=2,b=2,c=2.∵|PF2|2=8|F1F2|=8×4=32,∴|PF2|=42.又|PF1|-|PF2|=2a=22,∴|PF1|=22

(2)方法一:设|PF1|=m,|PF2|=n,则mn.由双曲线的定义知m-n=4,又mn=12,所以m=6,n=2.因为P在以F1F2为直径的圆上,所以PF1⊥PF2,故tan∠PF1F2=|PF2

所以tan∠POF2=tan2∠PF1F2=2tan∠PF1

方法二:设|PF1|=m,|PF2|=n,则mn.由双曲线的定义知m-n=4,又mn=12,所以m=6,n=2.因为P在以F1F2为直径的圆上,所以PF1⊥PF2,则|F1F2|=62+22=210,则b2=10-4=6,故双曲线的方程为x24-y26=1.设P(x0,y0)(x00),由x024-y02

变式题(1)C(2)28(3)C[解析](1)∵两定点F1(-3,0),F2(3,0),∴|F1F2|=6,由双曲线的定义得,当|PF1|-|PF2|=±4时,动点P的轨迹为双曲线,故选C.

(2)由题意知a=4.由双曲线的定义知|AF2|-|AF1|=8①,|BF2|-|BF1|=8②,由①+②得|AF2|+|BF2|-|AB|=16,所以|AF2|+|BF2|=22,所以△ABF2的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|=28.

(3)由双曲线Γ:x24-y22=1得a=2,b=2,c=6.因为∠F2AB=∠F2BA,所以|F2A|=|F2B|.作F2C⊥AB于C,则C是AB的中点.设|F2A|=|F2B|=x,则由双曲线的定义知,|F2A|-|F1A|=2a,|F1B|-|F2B|=2a,可得|F1A|=x-4,|F1B|=x+4,故|AB|=|F1B|-|F1A|=8.在R