2023-2024学年上海交大附中高二(下)期末数学试卷(含答案).docx

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2023-2024学年上海交大附中高二(下)期末数学试卷

一、单选题:本题共2小题,每小题5分,共10分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设函数y=f(3x+1)是偶函数,则下列直线中,一定是函数y=f(3x)图像的对称轴的是(????)

A.x=0 B.x=13 C.x=?1

2.若存在a∈R且a≠0,使得对任意x∈R,均有f(x+a)f(x)+f(a)成立,则称函数y=f(x)具有性质β.已知函数y=f(x)的定义域为R,给出下面两个条件:α1:y=f(x)是严格减函数且f(x)0恒成立;α2:y=f(x)是严格增函数且存在x00,使得f(x0)=0.下面关于函数

A.只有α1是 B.只有α2是 C.α1和α2都是 D.

二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。

3.?→0limln(3+?)?ln3?

4.设P是椭圆x24+y2=1第一象限部分上的一点,过P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为M、

5.7个人站成一排,若甲和乙不能相邻排列,则不同的排法有______种.

6.设f(x)=(x2?8)ex

7.设(1+x)m+(1+x)n=a0+a1x+a

8.设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组(x1,x2,x3,x4,x5)构成的:每一个元素x1等于0、1、?1中之一,其中

三、解答题:本题共2小题,共35分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

9.(本小题14分)

设f(x)=(x2+ax)n,其中n是正整数,a为正实数.

(1)设n=6,若f(x)展开式中含x9项的系数与含x?3的系数相等,求展开式中的常数项;

(2)设n=50,a=2,求

10.(本小题21分)

如图所示(省略y轴),设P是函数y=f(x)图像上的一点,l是曲线y=f(x)在点P处的切线.若存在点P和P′,使得曲线y=f(x)在P、P′处的切线相互垂直,则称曲线y=f(x)上存在以P、P′为端点的直角弯,简称直角.

(1)设f(x)=2sinx,x∈[0,π],横坐标为π3的点P是曲线y=f(x)上一点,求以点P为端点的直角弯的另一个端点P′的坐标;

(2)设f(x)=x+1x,x0,试问曲线y=f(x)上是否存在直角弯?若存在,求出端点横坐标的取值范围;若不存在,说明理由;

(3)数学建模社研究车辆转弯时,欲引入“平均弯曲率”来粗略地刻画曲线段的弯曲程度,并满足假设:直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大.设曲线上直角弯端点P、P′的横坐标分别为xP,xP′,社员想用|xP?xP′|(记作①)或1|xp?xp′|(记作②)其中之一作为该段直角弯的“平均弯曲率“,请根据4!半径不同的圆中直角弯的直观感,帮社员们做出决定

参考答案

1.D?

2.C?

3.13

4.1?

5.3600?

6.?4?

7.25?

8.130?

9.解:(1)当n=6时,f(x)=(x2+ax)6,

∵f(x)展开式中含x9项的系数与含x?3的系数相等,

∴aC61=a5C65,又a0,

∴a=1.

∴f(x)=(x2+1x)6,

∴展开式中的常数项为T5=C64(x2)2(1x)4=15.

10.解:(1)因为f(x)=2sinx,x∈[0,π],所以f′(x)=2cosx,

所以f′(π3)=2cosπ3=1,

设以点P为端点的直角弯的另一个端点P′的坐标为(m,2cosm),m∈[0,π],

则f′(m)=2cosm=?1,所以cosm=?12,解得m=2π3,

所以f(2π3)=2sin2π3=3,所以另一个端点P′的坐标为(2π3,3).

(2)假设f(x)=x上存在直角弯,且两端点分别为(x0,x0+1x0),(x1,x1+1x1),其中x00,x10,

则f′(x)=1?1x2,所以f′(x0)=1?1x02,f′(x1)=1?1x12,

所以f′(x0)f′(x1)=(1?1x02)(1?1x12)=?1,

若x0=1或x1=1,则f′(x0)f′(x1)=(1?1x02)(1?1x12)=0,故上式无解,

要想上式成立,1?1x02,1?1x12需要一正一负,即x0,x1一个比1大,一个比1小,

不妨设x0∈(0,1),x1∈(1,+∞),

则1?1x02∈(?∞,0),1?1x12∈(0,1),

因为?11?1x12

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