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吉林省实验中学2025届高三上学期开学学业诊断考试数学试题
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=(1+2i)(1?i),则|z|=(????)
A.10 B.10 C.2
2.下列命题为真命题的是(????)
A.命题“?x1,x2+2x+3=0”的否定是“?x≤1,x2+2x+3≠0”
B.若ab,则ac2bc2
3.已知向量a,b的?夹角为150°,且|a|=2,|b|=2,则
A.1 B.2?3 C.2+
4.如图,在圆x2+y2=r2(r0)上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD
A.32 B.22 C.
5.如图,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=4.若侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A1C1,
A.3 B.154 C.52
6.平均数?中位数和众数都描述了数据的集中趋势,下列说法错误的是(????)
A.如果频率分布直方图的形状是对称的,那么平均数和中位数大体上差不多
B.与中位数相比,平均数反映出样本数据中的更多信息
C.对分类型数据,比如产品质量等级等集中趋势的描述可以用众数
D.如果频率分布直方图在“右边”拖尾,那么平均数小于中位数
7.已知fx=4x?1+(x?1)
A.0 B.?1 C.?2 D.?3
8.设函数f(x)=(x?a)sinax,若存在x0使得x0既是f(x)的零点,也是f(x)的极值点,则a
A.0 B.π C.π D.
二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.(多选)下列四种变换,其中能使y=sinx的图象变为y=sin
A.向左平移π4个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的12
B.向左平移π8个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的12
C.各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π4个单位长度
10.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,C上一点P到F和到y轴的距离分别为12和10,且点P位于第一象限,以线段PF为直径的圆记为Ω,则下列说法正确的是
A.p=4
B.C的准线方程为y=?2
C.圆Ω的标准方程为(x?6)2+(y?25)2=36
D.若过点(0,25),且与直线OP(O为坐标原点
11.已知x1是函数f(x)=x3+mx+n(m0)的极值点,若f(
A.f(x)的对称中心为(0,n) B.f(?x1)f(x1)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.等差数列an中,a1+a4+a
13.?在?ABC中,若tanA?tanB=tanA+tanB+1
14.给如图所示的1~9号方格进行涂色,规则是:任选一个格子开始涂色,之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻(即没有公共边)的格子进行涂色,当5号格子被涂色后停止涂色,记此时已被涂色的格子数为X,则PX=3=??????????.
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos
(1)求B;
(2)若b=23,?ABC的面积为23
16.(本小题12分)
四棱锥P?ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,点E是棱PC上一点.
(1)求证:平面PAC⊥平面BDE;
(2)当E为PC的一个三等分点,即PC=3PE时,求四面体PBDE的体积;
(3)当E为PC中点时,求平面ABE与平面BDE夹角的大小.
17.(本小题12分)
已知函数fx
(1)当a=?1时,求曲线y=fx在点e,f
(2)若fx既存在极大值,又存在极小值,求实数a的取值范围.
18.(本小题12分)
在11分制乒乓球比赛中,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为p,乙发球时甲得分的概率为25,各球的结果相互独立.已知在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束,且P
(1)求p?的值;
(2)求再打2个球甲新增得分Y?的分布列和均值;
(3)记事件“X=2n,n∈N?且甲获胜”的概率为PAn
19.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2?y2b2
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)设M,N是双曲线C上不同的两点,Q是MN的中点,直线MN、OQ的斜率分别为k1,k
(3)直线y=4x?6与双曲线的
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