01 第47讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 【答案】听课.docxVIP

第八单元解析几何

第47讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程

●课前基础巩固

【知识聚焦】

1.(1)0°(2)0°≤θ180°(3)正切值tanα(4)y

2.(1)(x2-x1,y2-y1)(1,k)(2)①90°②vu

3.y-y0=k(x-x0)y=kx+by-y1y2-y1=x-x1x2-x1

【对点演练】

1.-3120°(1,-3)(答案不唯一)[解析]由题意知直线l的斜率k=33-0-5-(-2)=-3,即tanθ=-3,则倾斜角θ=120°,

2.5[解析]因为kAB=3-11-(-2)=23,kBC=m-14-(-2

3.(-1,-2)[解析]因为y+2=k(x+1),即y-(-2)=k[x-(-1)],所以该直线过定点(-1,-2).

4.-32[解析]经过两点(-1,1)和(0,3)的直线方程为y-31-3=x-0-1-0,即y=2x+3,令

5.②④[解析]坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角,①中说法正确;一条直线的斜率为1,则此直线的倾斜角为45°,②中说法错误;直线的倾斜角的取值范围是[0,π),③中说法正确;当直线的倾斜角为90°时,直线的斜率不存在,④中说法错误.故填②④.

6.x-y=0或x+y-2=0[解析]当直线经过原点时,直线的方程为x-y=0,满足题意.当直线不经过原点时,设直线的方程为xa+ya=1(a≠0),又点(1,1)在直线上,所以1a+1a=1,解得a=2,故直线的方程为x2+y2=1,即x+y-2=0.综上所述,所求直线的方程为x-y=0

●课堂考点探究

例1[思路点拨]先求出直线l与线段AB相交时直线l的倾斜角的范围与斜率范围,再讨论不相交的情况即可.

π4,3π4(-∞,-1)

[解析]如图,因为kPA=-2-(-1)1-0=-1,kPB=1-(-1)2-0=1,所以当直线l与线段AB相交时,由图可知,kPA≤k≤kPB,即-1≤k≤1,所以0≤tanα≤1或-1≤tanα0.因为y=tanx在0,π2及π2,π上均单调递增,所以当直线l与线段AB相交时,α的取值范围为0,π4∪3π4,

变式题(1)(-∞,-1]∪1

(2)3π4≤απ[解析](1)由题得直线ax+y-1=0的斜率为-a,且过定点P(0,1),由图可得,要使直线与线段AB总有公共点,需满足-a≥kPA或-a≤kPB,∵kPA=1,kPB=-13,∴-a≥1或-a≤-13,∴a≤-1或a≥13.故a的取值范围为(-∞,-1]

(2)直线x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的斜率为-1a2+1,易得-1≤-1a2+10,设直线的倾斜角为α,0≤απ,则-1≤tanα0,

例2[思路点拨](1)根据题目分直线截距为0和不为0,分别设方程求解.(2)由AC边与AC边上的高的垂直关系求得AC边所在直线的斜率,再结合A点的坐标,即可由点斜式写出AC边所在直线的方程.

(1)ABC(2)D[解析](1)当直线在x轴、y轴上的截距均为0时,设直线的方程为y=kx,将点(-3,1)的坐标代入可得k=-13,此时直线的方程为x+3y=0.当直线在x轴、y轴上的截距均不为0时,设直线的方程为xa+ya=1或xa+y-a=1(a≠0),将点(-3,1)的坐标代入可得a=-2或a=-4,此时直线的方程为x+y+2=0或x-y+4

(2)设AC边上的高所在直线的斜率为k1,则k1=-32,设AC边所在直线的斜率为k2,因为AC边上的高与AC边垂直,所以k1k2=-1,所以k2=23,又A(5,5),所以AC边所在直线的方程为y=23(x-5)+5,即2x-3y+5=0.

变式题(1)CD(2)3x+y-6=0(3)-1或-12-12,0[解析](1)方法一:因为直线l的一个方向向量为n=1,32,所以直线l的斜率k=32,故直线l的方程为y-3=32(x+4),即3

方法二:设P(x,y)是直线l上的任意一点(不同于A),则AP=(x+4,y-3),因为直线l的一个方向向量为n=1,32,所以32(x+4)-(y-3)=0,所以直线l的方程为y-3=32(x+4),即3x-2y+18=

(2)因为|OA|=|AB|,所以∠AOB=∠ABO,即kAB=-kOA=-3,所以直线AB的方程为y-3=-3(x-1),即3x+y-6=0.

(3)当k=0时,y=1,不符合直线l在两坐标轴上的截距相等.当k≠0时,令x=0,得y=2k+1,令y=0,得x=-2-1k,由题意可得-2-1k=2k+1,解得k=-1或k=-12.∵直线l的方程为kx-y+1+2k=0,即y=kx+1+2k,直线l不经过第三象限,∴k≤0且1+2k≥0,