立体几何中的建系求角题型难点分类练习原卷版.docx

立体几何中的建系难点典型例题

典例1：线面角：一般来说，线面角利用几何法会更简单一些，直接找面垂线或者利用等体积法获得距离均可。也可以使用三正弦或者三余弦来解决，方法多样化。

1．（2018·浙江·高考真题）如图，已知多面体ABC-A1B

（Ⅰ）求证：AB1⊥

（Ⅱ）求直线AC1与平面

变式1：直接计算求线面角

（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，三棱锥A-BCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为线段AC的中点.

(1)证明：平面BED⊥平面ACD；

(2)设AB=BD=3,BF=2FD,EF

变式2：求线面角的最值：涉及动态的问题，一般来说解答题利用坐标系转化为代数最值问题更为直接，方便计算和理解。

2.（2024·浙江·三模）在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，AD=DC=12AB=2，PC=22，E、

(1)若异面直线AD与PC所成的角为45°，判断PB与AD是否具有垂直关系并说明理由；

(2)若PB=PA=22，EF//PC，求直线AC与平面BEF

变式3：已知线面角求体积：本质通过线面角获得新的条件

（2024·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥Q-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，CD//AB，BC⊥AB，平面QAD⊥平面ABCD，QA=QD，点M是

??

(1)证明：QM⊥BD.

(2)点N是CQ的中点，AD=AB=2CD=2，当直线MN与平面QBC所成角的正弦值为427时，求四棱锥Q-ABCD

变式4：已知线面角求其他条件，与上面基本一样。

（2024·云南昆明·三模）如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，AA1⊥平面ABC，设平面AB1C1

(1)证明：EF⊥平面BCC

(2)若直线EF和平面ABC所成角的正弦值为33

典例2：二面角的求法。常规问题如下：利用建系获得两个法向量即可解决问题

1．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E，F满足AE=25AD，AF

(1)证明：EF⊥PD；

(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．

变式1：常规方法练习

（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面

(1)求证：AB⊥BC；

(2)求平面ABB1与平面

变式2：已知二面角求解点在线段上的存在性问题

（23-24高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，已知AB//CD,AD⊥CD,BC=BP,CD=2AB=4，△ADP是等边三角形，且E为DP的中点.

(1)证明：AE//平面PBC；

(2)当PA=6时，试判断在棱BC上是否存在点M，使得二面角M-PA-E的大小为60°.若存在，请求出BM

变式3：已知二面角求参数的值，其实和上一个题目一样，带入未知数计算二面角，最后解方程即可。

（21-22高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，M为棱PC上的动点，且PMPC

(1)求证：△PBC为直角三角形；

(2)试确定λ的值，使得平面PAD与平面ADM夹角的余弦值为25

变式4：已知二面角求线段长度

（2024·浙江·三模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，平面ACC1A1⊥底面ABC，∠A1AC=π

(1)当P是线段EF的中点时，求点P到平面ABB

(2)当平面PCC1与平面BB1C

典例3：建立坐标系之后坐标难以解决的问题：利用题中的已知条件（垂直，距离等）建立方程解决问题。

3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD=AB，E为线段PB的中点，平面AEC⊥底面ABCD．

(1)求证：AE⊥平面PBD；

(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

变式1：在计算或者证明过程中，长度或者等数量关系无法解决，利用几何关系和向量的基础运算进行解决。

（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在

??

(1)证明：EF//平面ADO；

(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

练习与作业

1.（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在五面体ABCDEF中，∠ADC=90°，AE=DE=DC=2EF，AB=3EF，EF//平面ABCD，平面ADE⊥平面ABCD，二面角A-DC-F的大小为60°．

(1)求证：四边形ABCD是梯形；

(2)点P在线段AB上，且AP=2P