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3.2.3指数函数与对数函数的关系;
1.当一种函数是一一映射时,能够把这个函数的因变量作为一种新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为 .
2.对数函数与 互为反函数,图象有关 对称.;指数函数y=ax(a0且a≠1)的图象与性质:;对数函数y=logax(a0且a≠1)的图象与性质:;本节重点:指数函数与对数函数间的关系,互为反函数的两个函数图象间的关系.
本节难点:反函数概念的理解.;1.对数函数的图象与性质又是一重点内容,学习过程中,要充足发挥数形结合的作用,通过图象来协助理解和记忆,另外也要通过对数函数与指数函数的关系来对比学习.要熟悉底数a1和0a1对对数函数图象和性质的影响.在解决与对数有关的问题时,应首先考虑定义域.;2.对于反函数概念的理解要注意下列几点:
(1)反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域.由此我们在求一种函数的值域(或定义域)时,可改求它的反函数的定义域(或值域).
(2)对于任意一种函数y=f(x)不一定总有反函数,只有当拟定这个函数的映射是一一映射时,这个函数才存在反函数.y=f(x)只有存在反函数时,才可由y0=f(x0)得出x0=f-1(y0)(或由b=f-1(a)得出a=f(b)).;
[例1]设a0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是图中的
();[答案]B
[解析]y=ax的反函数为y=logax,y=loga(-x)的图象与y=logax的图象有关y轴对称,因此,y=loga(-x)的图象在y轴左侧,从而排除A、C.当a1时,y=ax是增函数,y=loga(-x)是减函数,当0<a<1时,y=ax为减函数,y=loga(-x)为增函数,从而排除D,应当选B.;[点评]注意y=f(-x)与y=f(x)的图象有关y轴对称,y=-f(x)与y=f(x)的图象有关x轴对称,y=-f(-x)与y=f(x)的图象有关原点对称.y=f(x)与y=f-1(x)(反函数存在时)的图象有关直线y=x对称.;
指数函数f(x)=(2-a)x和对数函数g(x)= 的图象只能是
();[答案]A
;
[例2]已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图象通过点Q(5,2),则b=__________.
[答案]1
[解析]由互为反函数的图象有关直线y=x对称可知,??Q′(2,5)必在f(x)=2x+b的图象上,∴5=22+b,∴b=1.; ;
已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0),
(1)求y=f(x)的定义域;
(2)在函数y=f(x)的图象上与否存在不同的两点,使得过两点的直线平行于x轴?;(2)任取x1>x2>0,a>1>b>0,
则ax1>ax2,bx1<bx2,∴ax1-bx1>ax2-bx2>0,
即lg(ax1-bx1)>lg(ax2-bx2),故f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点,A(x1,y1)、B(x2,y2)使直线平行于x轴,则x1≠x2,y1=y2,这与f(x)是增函数矛盾,故函数y=f(x)的图象上不存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x轴.;[例4]函数y=log2x(x≥1)的反函数的定义域为________.
[误解]R∵函数y=log2x的反函数为y=2x,∴x∈R.
[辨析]误解中无视了反函数的定义域是原函数的值域.
[正解][0,+∞)∵函数y=log2x的反函数的定义域为原函数y=log2x的值域.
又∵x≥1,∴log2x≥0,∴反函数的定义域为[0,+∞).;一、选择题
1.函数f(x)=3x(0x≤2)的反函数的定义域为()
A.(0,+∞) B.(1,9]
C.(0,1) D.[9,+∞)
[答案]B
[解析]函数f(x)=3x(0x≤2)的反函数的定义域为原函数的值域,而0x≤2时,1<3x≤9,∴反函数的定义域为(1,9],故选B.;
2.若f(10x)=x,则f(5)=
()
A.log510B.lg5C.105D.510
[答案]B
[解析]解法一:令u=10x,则x=lgu,∴f(u)=lgu,∴f(5)=lg5.
解法二:令10x=5,∴x=lg5,∴f(5)=lg5.;[答案]C;二、填空题
4.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象有关直线y=x对称,则f(x)=__________.
[答案]3x(x∈R)
[解析]∵函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象有关直线y=x对称,∴函数y=f(x)为函
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