广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题（含答案）.docx

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广东省2025届高三“熵增杯”8月份阶段适应性测试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x∈N|x210}，B={x|x3?4x0}

A.8 B.4 C.2 D.1

2.已知zz+1=2?i，则|z|=(????)

A.52 B.102 C.

3.已知随机变量X的分布列如下表所示：

X

?1

0

1

P

1

m

n

若P(X?0)=12，且2X+Y=1，则D(Y)=

A.2918 B.4718 C.299

4.若单位向量b与向量a=(3,4)垂直，则cos?a

A.?2613 B.?2626

5.瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：k=Ae?EaRT，其中k为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度，Ea为反应活化能，A(A0)为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为T1和T2时，反应速率常数分别为k1和k2(此过程中R与E

A.M2 B.M C.M

6.在?ABC中，tanA和tanB是方程x2+bx?c=0的两实数根，则

A.?b1?c B.?b1+c C.

7.已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)?4ex为奇函数，y=f(x)+2ex为偶函数，则f(x)

A.23 B.43 C.

8.已知某圆锥的轴截面是顶角为α的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为β的扇形，则当α?β最小时，β=(????)

A.1 B.2 C.π2?1

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法一定正确的有(????)

A.若ab0，则ln(a?1)ln(b?1)

B.若P(A)=0.6，P(B)=0.8，P(A|B)=0.5，则P(B|A)=23

C.在(1+3x+3x+

10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,|φ|π2)的图象交坐标轴于A，B，C三点，部分图象如图所示，?ABC是直角三角形，ωsinφ=5π6.

A.f(x)=sin(5π3x+π6) B.g(x)的最小正周期为π

11.已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，准线为l，点A，B在C上(A在第一象限)，点Q在l上，以AB为直径的圆过焦点F，QB=λBF(λ0)，则(????)

(附：焦半径公式：AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦，AB与x轴的夹角为θ(0

A.若λ=3，则BF=34 B.若∠AQF=3π8，则AF=2+2

C.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.双曲线x2a2?y2=1(a0)的一条渐近线方程为2x+

13.画n条直线，最多将圆的内部分为??????????部分．

14.若存在实数b，使得函数f(x)=(x?1)4x2+a(x+1)2

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

在?ABC中，tanB=12

(1)求sinA

(2)设AC=3，求AC

16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，BC=BD，PC=PD=4．

?

(1)证明：PB⊥CD；

(2)若PA=25，PB=2，求二面角A?PB?C

17.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，点P到直线x=4的距离与点P到点F(1,0)的距离之比为2.记P的轨迹为C．

(1)求C的离心率；

(2)过C的上顶点B的直线l与C相交于另一点A，若?ABF的面积为3，求l的方程．

18.(本小题12分)

已知数列{an}的前三项均为1

(1)求{a

(2)设数列{bn}

(ⅰ)若?k∈N?，a4

(ⅱ)若b1=1，{ab

19.(本小题12分)

信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X和Y的分布列分别为：P(X=xi)=pi，P(Y=xi)=qi，其中i=1,2,…,n.定义

(1)若X～B(4,12)

(2)已知发报台只发出信号0和1，接收台只收到信号0和1.现发报台发出信号0的概率为m，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号0的概率为n，发出信号1接收台收到信号1的概率也为n．

(ⅰ)若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；

(ⅱ)记X和Y分别为发出信号和收到信号，证明：KL(X||Y)≥0．

参考答案

1.C?

2.B?

3.C?

4.B?

5.A?

6.D?

7.A?

8.D?

9.BC?

10.ACD?

11.ABD?

12.5

13