08 第54讲　圆锥曲线热点问题 01 第1课时　求值、最值与范围、证明问题 【正文】听课.docxVIP

第54讲圆锥曲线热点问题

1.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.

2.根据几何问题和图形的特点,用代数语言把几何问题转化成为代数问题.

3.根据对几何问题(图形)的分析,探索解决问题的思路,运用代数方法得到结论,给出代数结论合理的几何解释,解决几何问题.

4.能够根据不同的情境,建立平面直线和圆的方程,建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程,能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系.

常用结论

1.注意转化思想在圆锥曲线热点问题中的应用.

(1)平行四边形条件的转化

几何性质

代数实现

对边平行

斜率相等,或向量平行

对边相等

长度相等,横(纵)坐标差相等

对角线互相平分

中点重合

(2)圆条件的转化

几何性质

代数实现

点在圆上

点与直径端点向量数量积为零

点在圆外

点与直径端点向量数量积为正数

点在圆内

点与直径端点向量数量积为负数

(3)角条件的转化

几何性质

代数实现

锐角、直角、钝角

角的余弦(向量数量积)的符号

倍角、半角、平分角

角平分线性质、定理

等角(相等或相似)

比例线段或斜率

2.应用基本不等式求圆锥曲线有关最值的五种典型情况

(1)s=k2+12k2+5(先换元

(2)s=(k2+1)2(

(3)s=n4m2+1

(4)s=4k4+13k2+9

(5)s=k(k2

3.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线,两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.

4.切点弦方程:过平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫作曲线的切点弦方程.二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0外一点P(x0,y0)的切点弦方程为Ax0x+Bx0y+y0x2+Cy0

5.若A,B,C,D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次的四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC,BD的斜率存在且不等于零,并有kAC+kBD=0(kAC,kBD分别表示AC和BD的斜率).

6.对任意圆锥曲线,过其上任意一点作两条直线,若两条直线的斜率之积为定值,两条直线与圆锥曲线的另外一个交点分别为A,B,则直线AB过定点.

/第1课时求值、最值与范围、证明问题/

弦长问题

圆锥曲线中的弦长问题是圆锥曲线中的一类重要问题,常用的求解方法有定义法和弦长公式法.

(1)定义法:过圆锥曲线的焦点的弦长问题,利用圆锥曲线的定义可优化解题过程.

(2)弦长公式法:根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的代数式,然后整体代入弦长公式进行求解.

例1[2023·天津红桥区二模]已知点P55a,22a在椭圆C:x2a2

(1)求椭圆C的离心率;

(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.

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总结反思

1.涉及抛物线的焦点弦问题,常常利用根与系数的关系与抛物线的定义、焦点弦长公式,“设而不求”简化运算.

2.解决直线与圆锥曲线相交弦问题设直线方程时,如果直线斜率存在,那么一般设为y=kx+b的形式;如果直线的斜率可能不存在,那么一般设为x=my+t的形式.

变式题1已知抛物线C:x2=2py(p0)过点M(4,4).

(1)求抛物线C的方程;

(2)直线l经过抛物线C的焦点,且与抛物线C相交于A,B两点,若|AB|=6,O为坐标原点,求△OAB的面积.

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变式题2[2023·嘉兴二模]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F(2,0),P(3,-

(1)求双曲线C的方程;

(2)过点F作斜率大于0的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,若PF平分∠APB,求直线l的方程.

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最值(范围)问题

圆锥曲线中的最值问题类型较多,常见的最值问题类型有:求线段长度(弦长)最值、求三角形面积最值、求面积比最值、求线段长度比最值等.解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

其中常用的方法有:

(1)利用判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.

(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系.

(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式(组),从而求出参数的取值范围.

(4)利用基本不等式求出参数的取值范围.

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.在建立函数的过程中,要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来,同时要注意变量的取值范围.

例2[2022·