01 第47讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 【正文】听课.docxVIP

第八单元解析几何

第47讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).

1.直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为.?

(2)范围:倾斜角α的取值范围是,即[0,π).?

(3)直线的斜率定义:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k=.?

(4)过两点的直线的斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.?

2.直线的方向向量与法向量

(1)直线方向向量的几种形式

条件

直线l的方向向量的表示

P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l上两个不同点

P1P2

直线l的斜率为k

?

(2)直线的方向向量与斜率的关系

一般地,已知a=(u,v)为直线l的一个方向向量,则

①当u=0时,直线l的斜率不存在,倾斜角为;?

②当u≠0时,直线l的斜率k=,倾斜角θ满足tanθ=.?

3.直线方程的五种形式

名称

方程

适用范围

点斜式

?

不含直线x=x0

斜截式

?

不含垂直于x轴的直线

两点式

?

不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)

截距式

?

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

??

平面内所有直线都适用

常用结论

1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:

α

0°

30°

45°

60°

0°α90°

90°

90°α180°

k

0

3

1

3

k0

不存在

k0

2.特殊位置的直线方程

(1)经过点(a,b)且平行于x轴的直线方程为y=b;

(2)经过点(a,b)且平行于y轴的直线方程为x=a;

(3)过原点且斜率为k的直线方程为y=kx.

3.直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A).

题组一常识题

1.[教材改编]已知直线l经过点A(-2,0)与B(-5,33),则直线l的斜率k=,倾斜角θ=,一个方向向量为.?

2.[教材改编]已知A(1,3),B(-2,1),C(4,m)三点在同一条直线上,则m=.?

3.[教材改编]直线y+2=k(x+1)恒过点.?

题组二常错题

◆索引:对截距概念理解有误;对倾斜角和斜率的关系掌握不牢;忽略截距为0的情况.

4.经过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为.?

5.下列说法中,错误的是.(填序号)?

①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角;

②若一条直线的斜率为1,则此直线的倾斜角为90°;

③直线的倾斜角的取值范围是[0,π);

④若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tanα.

6.过点(1,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线的方程为.?

直线的倾斜角和斜率

例1经过点P(0,-1)作直线l,且直线l与连接点A(1,-2),B(2,1)的线段没有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围为,斜率k的取值范围为.?

总结反思

(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率k=tanα的取值范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助函数图象或单位圆,数形结合确定倾斜角α的取值范围.

(2)注意倾斜角的取值范围是[0,π),若直线的斜率不存在,则直线的倾斜角为π2,此时直线垂直于x轴

(3)每条直线都有倾斜角,但不一定存在斜率.

变式题(1)若直线ax+y-1=0与连接A(2,3),B(-3,2)的线段总有公共点,则实数a的取值范围是.?

(2)直线x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是.?

求直线的方程

例2(1)(多选题)过点(-3,1)且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线的方程可能是 ()

A.x+3y=0 B.x+y+2=0

C.x-y+4=0 D.x-3y=0

(2)[2023·山西大学附中月考]已知△ABC的顶点A(5,5),AC边上的高所在直线的方程为3x+2y-7=0,则AC边所在直线的方程为(