02 第48讲　两直线的位置关系 【正文】听课.docxVIP

第48讲两直线的位置关系

1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

1.两条直线的位置关系

直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:

位置关系

l1,l2满足的条件

l3,l4满足的条件

平行

??

A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1,B1C2-B2C1中至少有一个不为0

垂直

?

A1A2+B1B2=0

相交

?

A1B2-A2B1≠0

2.两条直线的交点

设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的就是方程组A1x

(1)若方程组有唯一解,则两条直线,此解就是;?

(2)若方程组无解,则两条直线,此时两条直线,反之,亦成立.?

3.距离公式

点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离

|P1P2|=|P1P2

点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离

d=|P0P1·n|=(其中n是与直线l的方向向量垂直的单位向量,P1为直线

两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离

d=?

常用结论

(1)若所求直线过点P(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0平行,则所求直线的方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0;与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).

(2)若所求直线过点P(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0垂直,则所求直线的方程为B(x-x0)-A(y-y0)=0;与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).

(3)若直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈R,这个方程可以表示l1,但不能表示l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程.

(4)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).

(5)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).

(6)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).

(7)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).

(8)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).

(9)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).

题组一常识题

1.[教材改编]已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC是(锐角、直角、钝角中选填一个)三角形.?

2.点(1,3)到直线3x-4y-1=0的距离为.?

3.经过两条直线x+y-3=0和x-2y+3=0的交点,且与直线2x+y-7=0平行的直线方程是.?

题组二常错题

◆索引:忽略检验两条直线重合的情况;判断两条直线的位置关系时忽视斜率不存在的情况;求两条平行线间的距离时忽视两个直线方程的系数的对应关系.

4.若直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my+1=0平行,则实数m的值为.?

5.若直线l1:2x+3ay-4=0与直线l2:ax+(a-2)y+1=0垂直,则实数a的值为.?

6.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为.?

两条直线的位置关系

例1已知两直线l1:(m+3)x+5y=5-3m,l2:2x+(m+6)y=8,当m为何值时,l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合;(4)垂直.

?

?

总结反思

(1)充分掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1(斜率为k1)和l2(斜率为k2),l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1·k2=-1.解题时一定要特别注意直线的斜率不存在的情况.

(2)若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2?A1A2+B1B2=0;l1∥l2?A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1.

变式题(1)已知p:直线x+2y-1=0与直线a2x+(a+1)y-1=0平行,q:a=1,则p是q的 ()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

(2)[2023·北京东城区二模]已知三条直线l1:x