07 第45讲　空间角 【正文】听课.docxVIP

第45讲空间角

能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.

1.异面直线所成的角

(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a∥a,b∥b,把直线a与b所成的角叫作异面直线a与b所成的.?

(2)范围:.?

(3)求法:

①几何法:平移补形法.

②向量法:若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cosθ=|cosu,v|=u·v|u

2.线面角

(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是π2;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0

(2)直线与平面所成的角的取值范围:.?

(3)求法:

①几何法:求直线与平面所成角的关键是作出直线在平面上的射影,常用方法是寻找经过此直线并与已知平面垂直的平面,利用面面垂直的性质确定直线上一点在平面上的射影.

②向量法:如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ=|cosu,n|=u·n|u

3.二面角

(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作

的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角(如图).?

(2)范围:[0,π].

(3)求法:

①几何法:找到二面角的棱的一个垂面,即可确定平面角,作二面角的平面角的常用方法是在二面角的棱上任取一点O,以点O为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB即为二面角的平面角.

②向量法:若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cosθ=|cosn1,n2|=n1·n2|n

特别注意:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中的二面角称为平面α与平面β的夹角.?

题组一常识题

1.[教材改编]设直线a的一个方向向量为a=(-1,2,1),平面α的一个法向量为b=(0,1,2),则直线a与平面α所成角的正弦值为.?

2.[教材改编]已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则这两个平面的夹角为.?

3.[教材改编]如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值为.?

题组二常错题

◆索引:二面角取值范围出错;异面直线夹角取值范围出错;线面角取值范围出错.

4.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cosm,n=-12,则l与α所成的角为

5.如图,圆锥的高SO=3,底面直径AB=2,C是圆O上一点,且AC=1,则SA与BC所成角的余弦值为.?

6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为,二面角B-A1C1-D1的余弦值为.?

异面直线所成的角

例1(1)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AB=BB1=4,E,F分别是A1D1,CD的中点,则异面直线A1F与B1E所成角的余弦值为 ()

A.102

B.-102

C.5

D.6

(2)如图,已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,母线长为22,AB为圆锥底面圆的直径,C为底面圆周上一点,且∠BOC=π2,M为AC的中点,求异面直线OM与PB所成的角的大小

?

?

总结反思

(1)用几何法求异面直线所成的角时,可将异面直线通过平移转化为共面直线.

(2)用向量法求异面直线所成角的步骤:①选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;②确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;③利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;④两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.

变式题1[2023·黑龙江哈师大附中模拟]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,△PAD是正三角形,AB=2,平面PAD⊥平面ABCD,则PC与BD所成角的余弦值为 ()

A.14 B.

C.13 D.

变式题2(多选题)[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则 ()

A.直线BC1与DA1所成的角为90°

B.直线BC1与CA1所成的角为90°

C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°

D.直线BC1与平面