07 第45讲　空间角 【答案】听课.docxVIP

第45讲空间角

●课前基础巩固

【知识聚焦】

1.(1)角(或夹角)(2)0,π22

3.(1)垂直于棱l(3)②不大于90°

【对点演练】

1.23015[解析]设直线a与平面α所成的角为θ,则sinθ=|a·b

2.45°[解析]∵cosm,n=m·n|m||n|=11×2=22,∴

3.155[解析]以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(1,1,0),E(0,2,1),F(1,0,0),D1(0,0,2),∴FD1=(-1,0,2),OE=(-1,1,1),∴cosFD1,OE=FD1·OE|FD1||

4.30°[解析]设l与α所成的角为θ,∵cosm,n=-12,∴sinθ=|cosm,n|=12,又0°≤θ≤90°,∴θ=

5.34[解析]以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,3),C32,-12,0,所以AS=(0,1,3),BC=32,-32,0,所以cosAS,BC

6.13-23[解析]建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,1),C1(0,2,1),A1(1,0,1),B(1,2,0),∴D1C1=(0,2,0),A1C1=(-1,2,0),A1B=(0,2,-1).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则n·A1C1=0,n·A1B=0,即-x+2y=0,2y-z=0,令y=1,得n=(2,1,2).设D1C1与平面A1BC1所成的角为θ,则sinθ=|cosD1C1,n|=|D1C1·n||D1C1||n|=22×3=13,即直线D1C1

●课堂考点探究

例1[思路点拨](1)思路一:在长方体中建立空间直角坐标系,利用向量法求异面直线所成的角;思路二:在长方体中,通过补充新的长方体,结合平行关系,将异面直线转化在同一平面中,利用解三角形求异面直线所成的角.(2)思路一:连接PC,BC,由O是AB的中点,M为AC的中点,得出OM∥BC,所以∠PBC(或其补角)即为异面直线OM与PB所成的角,由∠BOC=π2,求得BC=22,则△PBC为等边三角形,即∠PBC=π3,即可得出结果;思路二:以O为坐标原点,以OC,OB,OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,求得PB=(0,2,-2),OM=(1,-1,0),进而可得PB与OM的夹角,即可求得异面直线OM与PB

(1)A[解析]方法一:以A为坐标原点,以AB,AD,AA1的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),F(2,2,0),B1(4,0,4),E(0,1,4),所以A1F=(2,2,-4),B1E=(-4,1,0).设异面直线A1F与B1E所成的角为θ,则cosθ=A1F·

方法二:补充长方体CDMN-C1D1M1N1,如图所示,其中C1N1=B1C1,取P为B1C1的中点,Q为MN的中点,连接D1Q,D1P,PQ,则∠PD1Q(或其补角)即为异面直线A1F与B1E所成的角.由题知D1P=B1E=17,D1Q=A1F=26,PQ=29,所以cos∠PD1Q=D1P2+D1Q

(2)解:方法一:连接PC,BC,如图所示,由题知O是AB的中点,M为AC的中点,所以OM∥BC,

所以∠PBC(或其补角)即为异面直线OM与PB所成的角.因为∠BOC=π2,所以BC=OB2+

所以△PBC为等边三角形,所以∠PBC=π3

所以异面直线OM与PB所成的角的大小为π3.

方法二:易知OC,OB,OP两两垂直,以O为坐标原点,

建立如图所示的空间直角坐标系,

则O(0,0,0),A(0,-2,0),C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2).因为M为AC的中点,所以M(1,-1,0),所以PB=(0,2,-2),OM=(1,-1,0).设异面直线OM与PB所成的角为θ0θ≤π2,向量PB与OM的夹角为φ,则cosφ=PB·OM|PB||OM|=-222×2=-12,所以cosθ=|

变式题1A[解析]取AD的中点O,BC的中点E,连接PO,OE,因为△PAD是正三角形,所以PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO?平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.因为四边形ABCD为正方形,所以OE⊥AD.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,则P(0,0,3),C(2,1,0),D(0,1,0),B(2,-1,0),所以PC=(2,1,-3),DB=(2,-2,0),所以cosPC,DB=PC·DB|PC|·|DB|=14,所以PC与

变式题2ABD[解析]如图,易证BC1⊥平面B1CDA1,所以BC1⊥DA1,B